Об одном применение леммы Морса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (89) май-1 2015 г.

Дата публикации: 05.05.2015

Статья просмотрена: 40 раз

Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Ширинова М. У. Об одном применение леммы Морса // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 36-40. — URL https://moluch.ru/archive/89/18093/ (дата обращения: 23.07.2018).

В настоящей работе изучается обобщенная модель Фридрихса. На примере рассматриваемого оператора, с помощью леммы Морса получено разложение соответствующего определителя Фредгольма.

Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, пространство Фока, определитель Фредгольма, лемма Морса.

 

Поведения определителя Фредгольма для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [1–3], a для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке изучен в работах [4,5]. Как известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [6,7]. Поэтому изучение поведения определителя Фредгольма для обобщенной модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике. При этом лемма Морса о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к каноническому виду в окрестности невырожденной критической точки является основным инструментом. Это лемма красива сама по себе и важна в приложениях. Лемма Морса является один из основных результатов теории Морса, названной по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американским математиком Х. К. М. Морса (1892–1977).

Ради удобства для читателей сначала сформулируем лемму Морса [8].

Лемма Морса. Пусть - открытое множество, функция принадлежит классу  и  невырожденная критическая точка этой функции. Тогда существует диффеоморфизм отображающее некоторое окрестность точки в окрестность  точки такое, что

для любых .

Пусть - трехмерный тор, - одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через  прямую сумму пространств  и , т. е.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве  по формуле

;

Здесь  и -вещественнозначные непрерывные функции на , а функция -вещественнозначная непрерывная симметрическая функция на . Очевидно, что оператор  ограничен и самосопряжён в

Отметим, что обобщенная модель Фридрихса обладает основными спектральными свойствами двухчастичного дискретного оператора Шредингера (см. например [9]). По этой причине гильбертово пространство  называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства, а обобщенная модель Фридрихса  называется гамильтонианом системы с не более чем двумя частицами на решетке.

Для точной формулировки нужного нам результата, приведем несколько условий:

 Условие 1. a) Функция  является четной в  по совокупности переменных  имеет единственный невырожденный минимум в точке  и все частные производные четвертого порядка функции  непрерывны в ;

б) Существуют положительно определенная матрица , числа  такие, что

Из условие 1 вытекает, что

Условие 2. Функции и  четны, а также функция  имеет единственный минимум в точке

Замечание 1. Условия 1–2 выполняются в случае, когда

где функция  определена по формуле

При каждом фиксированном определим регулярную в  функцию (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором )

где числа и определяются следующим образом:

В силу условие 1 функция  имеет единственный невырожденный минимум в точке   а функция  является аналитической на  по предположению, поэтому существует конечный интеграл

.

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что

Положим

Теперь сформулируем результат о разложении определителя Фредгольма.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1–2. Существует число , такое, что для любых  и  имеет место представление

где при  и  при  равномерно по

Доказательство. Пусть функция  определена в  как

,

где  и для любого  точка  является точкой невырожденного минимума.

При каждом  определим аналитическую функцию  в  по формуле

Так как в силу определение функции  условие 1,2 получим, что функция принадлежит классу  для любых

Пользуясь разложением

при  получим, что существует число  такое, что при всех  и  имеет место неравенства

В силу теоремы Лебега о предельном переходе имеем

Применяя лемму Адамара получим, что

где при каждом  функция  является непрерывной в и

В силу неравенств (1) и (2) имеем

для любых  равномерно по .

При каждом  функция  является четной в  и поэтому

Таким образом, при каждом  функция  принадлежит классу  и имеет место разложение  где  при равномерно по .

Теперь докажем, что существует правая производная от  в точке  и имеет место оценка

для некоторого

Действительно, функцию  можно представит в виде

где

, .

Так как функция  является непрерывной в компактном множестве

и имеет единственный минимум в точке  существует число  такое, что  для любых . Тогда из  вытекает, что

для некоторого

Рассмотрим следующий разность

Функция имеет единственный невырожденный минимум в точке .

Следовательно, в силу леммы Морса существует взаимно-однозначное отображение

 из  в некоторое окрестность  точки  такое, что

                                                                                                           (7)

где  и для Якобиана  отображении  имеет место равенство  В интеграле (6) делая замену переменных  и пользуясь равенством (7) имеем

В интеграле (8) переходя в сферическую систему координат  запишем ее в виде

где  - единичная сфера в , a  элемент единичной сферы. Учитывая факты  и  имеем

                                                                                                        (9)

Теперь согласно оценки (9) получим

Следовательно, существует правая производная функции  в точке  и

Таким образом,

                                                                                  (10)

для некоторого

Тогда из неравенств (5) и (10) следует, что существует правая производная функции  в точке  и  Сопоставляя неравенства (5) и (10) получим (3). Аналогично доказывается оценка (4). Теперь утверждение теоремы вытекает из равенства  Теорема доказана.

 

Литература:

 

1.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, K. A. Makarov, Z. I. Muminov. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice // Comm. Math. Phys. — 2006, — V. 262, P. 91–115.

2.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Henri Poincare, — 2005, — V. 5, — P. 743–772.

3.      Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н., Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. и мат. физ., — 2003, — Т. 136, — № 2, С. 231–245.

4.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations // J. Math. Anal. Appl. — 2007, — V. 330, — P. 1152–1168.

5.      Т. Х. Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теор. и матем. физ. — 2010, — Т. 163, — № 1, С. 34–44.

6.      Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Мат. Инс-та АН СССР, -1964, — Т. 73, — С. 292–313.

7.      Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теор. и матем. физ. -1979, — Т. 2, — № 2, — С. 230–243.

8.      В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.

9.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, T. H. Rasulov. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of a non Conserved Number of Particles // Methods Func. Anal. Topol. — 2007, -V. 13, — no. 1, — P. 1–16.

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, лемма Морса, единственный невырожденный минимум, единственный минимум, единичная сфера, дискретный оператор, правая производная функция, предельный переход, гильбертово пространство.


Похожие статьи

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как операторная матрица.

Лемма 2. Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на тогда и только тогда, когда .

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

О дискретном спектре одного матричного оператора

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет единственный невырожденный максимум в точке а также функция есть непрерывная функция на , то. , являются конечными интегралами.

Расположение собственных значений обобщенной модели...

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке и непрерывная функция на , в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем, что существует конечный интеграл.

Условия существования виртуального уровня обобщенной...

виртуальный уровень, оператор, функция, решение уравнения, трехмерный тор, существенный спектр, нулевая энергия, невырожденный минимум, гильбертово пространство, обобщенная модель.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.

Условия существования собственных значений одной операторной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число, существенный спектр...

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Об одном представлении функции многих переменных, имеющей...

Условие 1. Функция является четной по совокупности переменных , ( ), имеет единственный невырожденный минимум в точке и существуют положительно определенная матрица , числа такие, что.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как операторная матрица.

Лемма 2. Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на тогда и только тогда, когда .

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

О дискретном спектре одного матричного оператора

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет единственный невырожденный максимум в точке а также функция есть непрерывная функция на , то. , являются конечными интегралами.

Расположение собственных значений обобщенной модели...

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке и непрерывная функция на , в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем, что существует конечный интеграл.

Условия существования виртуального уровня обобщенной...

виртуальный уровень, оператор, функция, решение уравнения, трехмерный тор, существенный спектр, нулевая энергия, невырожденный минимум, гильбертово пространство, обобщенная модель.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.

Условия существования собственных значений одной операторной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число, существенный спектр...

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Об одном представлении функции многих переменных, имеющей...

Условие 1. Функция является четной по совокупности переменных , ( ), имеет единственный невырожденный минимум в точке и существуют положительно определенная матрица , числа такие, что.

Задать вопрос