Расположение собственных значений обобщенной модели Фридрихса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 5 раз

Библиографическое описание:

Эгамбердиев А. Н. Расположение собственных значений обобщенной модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 60-62. — URL https://moluch.ru/archive/117/32107/ (дата обращения: 19.09.2018).



В рамках проблемы нескольких тел на непрерывном пространстве и на решетке исследовано большое число задач о существовании собственных значений для систем квазичастиц, число которых сохраняется [1]. Однако имеются в определенном смысле более актуальные и интересные задачи, возникающие в теории твердого тела [2], статистической физике [3], теории квантового поля [4] и теории химических реакций [5], в которых число квазичастиц не сохраняется.

В настоящей работе рассматривается семейство обобщенной модели Фридрихса ,,, действующей в двухчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства. Описано множество собственных значений лежащих ниже существенного спектра оператора .

Пустъ -трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней, — гилъбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , -одномерное комплексное пространство.

Обозначим , , .

Определение 1. Гилъбертово пространство H называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Рассмотрим семейство ограниченных и самосопряженных операторов , , (семейство обобщенных моделей Фридрихса), действующих в гилъбертовом пространстве и задающихся формулой

,, (1)

Где и — вещественные положительные числа, -вещественно-непрерывная (отличная от нуля) функция на , а функция определяется равенством:

,

, .

Оператор возмущения , оператора , является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора , . Известно, что

,

где числа и определяются равенствами:

, .

Из последних двух фактов следует, что

.

Видно, что существенный спектр оператора не зависит от . В частности

.

Замечание 2. Отметим, что функция записывается в виде

, .

Следовательно, для любого функция имеет единственный невырожденный минимум в точке .

Следующая теорема описывает число собственных значений оператора .

Теорема 1. Для любого оператор имеет не более чем по одному простых собственных значений лежащихлевее и правее существенного спектра.

Положим:

Для любых и имеет место . Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке и непрерывная функция на , в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем, что существует конечный интеграл

.

Обозначим

Следующая теорема описывает расположение собственных значений оператора .

Теорема 2.

1)Для любых и оператор не имеет собственных значений, лежащих ниже существенного спектра;

2)Для любого ненулевого оператор имеет единственное собственное значение лежащее на ;

3)Для любых и оператор имеет единственное собственное значение Более того

и

В силу теоремы 2 можно сформулировать аналогичную теоремы о собственном значении оператора лежащих правее его существенного спектра.

Заметим, что теорема 2 играет важную роль при изучени структуры существенного спектра оператора

действующего в гильбертовом пространстве

Здесь под знаком интеграла стоят одинаковые слои.

Литература:

  1. Ю. А. Изюмов, М. В. Медведев. Магнитный полярон в ферромагнитном кристалле. ЖЭТФ. 1970, вып. 2, № 8, с. 553–560.
  2. А. Т. Mogilner. Hamiltonians of solid state physics at few particle discrete Schroedinerger operators: problems and results. Advances in Sov. Math. 5 (1991), 139–194.
  3. V. A. Malishev and R. A. Minlos. Linear infinite-particle operators. Translations of Math. Monagraphs. Amer. Math. Soc. Trasl. 177 (1996), № 2, 159–193.
  4. K. O. Friedrichs. On the perturbation of continuous spectra. Comm. Appl. Math. 1 (1948), 361–406.
  5. V. Bach, J. Froehlich, I. M. Sigal. Mathematical theory of non-relavistic matter and radiation. Lett. Math. Phys. 34 (1995), 183–201.
Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, существенный спектр, собственное значение оператора, теорема, единственное собственное значение, сила теоремы, оператор, любой, единственный невырожденный минимум, функция.


Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

Лемма 2.Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на , тогда и только тогда, когда . Доказательство.

г) Если , то оператор имеет единственное собственное значение на . Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3.

О дискретном спектре одного матричного оператора

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет

а также при положим. Следующие теоремы описывают множества собственных значений оператора .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Лемма 2. Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на тогда и только тогда, когда .

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где. . Рассмотрим следующие точки из : . Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках .

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, любой, сила леммы, существенный спектр, собственное значение оператора, функция, непрерывный спектр, одномерная решетка, дискретный спектр оператора, гильбертово пространство.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором. Поэтому из известной теоремы Г...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает...

Условия существования собственных значений одной...

Лемма 2.Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на , тогда и только тогда, когда . Доказательство.

г) Если , то оператор имеет единственное собственное значение на . Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3.

О дискретном спектре одного матричного оператора

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет

а также при положим. Следующие теоремы описывают множества собственных значений оператора .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Лемма 2. Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на тогда и только тогда, когда .

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где. . Рассмотрим следующие точки из : . Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках .

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, любой, сила леммы, существенный спектр, собственное значение оператора, функция, непрерывный спектр, одномерная решетка, дискретный спектр оператора, гильбертово пространство.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором. Поэтому из известной теоремы Г...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

Лемма 2.Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на , тогда и только тогда, когда . Доказательство.

г) Если , то оператор имеет единственное собственное значение на . Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3.

О дискретном спектре одного матричного оператора

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет

а также при положим. Следующие теоремы описывают множества собственных значений оператора .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Лемма 2. Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на тогда и только тогда, когда .

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где. . Рассмотрим следующие точки из : . Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках .

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, любой, сила леммы, существенный спектр, собственное значение оператора, функция, непрерывный спектр, одномерная решетка, дискретный спектр оператора, гильбертово пространство.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором. Поэтому из известной теоремы Г...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает...

Условия существования собственных значений одной...

Лемма 2.Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на , тогда и только тогда, когда . Доказательство.

г) Если , то оператор имеет единственное собственное значение на . Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3.

О дискретном спектре одного матричного оператора

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет

а также при положим. Следующие теоремы описывают множества собственных значений оператора .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Лемма 2. Оператор имеет единственное собственное значение, лежащее на тогда и только тогда, когда .

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где. . Рассмотрим следующие точки из : . Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках .

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, любой, сила леммы, существенный спектр, собственное значение оператора, функция, непрерывный спектр, одномерная решетка, дискретный спектр оператора, гильбертово пространство.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором. Поэтому из известной теоремы Г...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает...

Задать вопрос