Автор: Эгамбердиев Абдурауб Норбутаевич

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 4 раза

Библиографическое описание:

Эгамбердиев А. Н. Расположение собственных значений обобщенной модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 60-62.



В рамках проблемы нескольких тел на непрерывном пространстве и на решетке исследовано большое число задач о существовании собственных значений для систем квазичастиц, число которых сохраняется [1]. Однако имеются в определенном смысле более актуальные и интересные задачи, возникающие в теории твердого тела [2], статистической физике [3], теории квантового поля [4] и теории химических реакций [5], в которых число квазичастиц не сохраняется.

В настоящей работе рассматривается семейство обобщенной модели Фридрихса ,,, действующей в двухчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства. Описано множество собственных значений лежащих ниже существенного спектра оператора .

Пустъ -трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней, — гилъбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , -одномерное комплексное пространство.

Обозначим , , .

Определение 1. Гилъбертово пространство H называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Рассмотрим семейство ограниченных и самосопряженных операторов , , (семейство обобщенных моделей Фридрихса), действующих в гилъбертовом пространстве и задающихся формулой

,, (1)

Где и — вещественные положительные числа, -вещественно-непрерывная (отличная от нуля) функция на , а функция определяется равенством:

,

, .

Оператор возмущения , оператора , является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора , . Известно, что

,

где числа и определяются равенствами:

, .

Из последних двух фактов следует, что

.

Видно, что существенный спектр оператора не зависит от . В частности

.

Замечание 2. Отметим, что функция записывается в виде

, .

Следовательно, для любого функция имеет единственный невырожденный минимум в точке .

Следующая теорема описывает число собственных значений оператора .

Теорема 1. Для любого оператор имеет не более чем по одному простых собственных значений лежащихлевее и правее существенного спектра.

Положим:

Для любых и имеет место . Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке и непрерывная функция на , в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем, что существует конечный интеграл

.

Обозначим

Следующая теорема описывает расположение собственных значений оператора .

Теорема 2.

1)Для любых и оператор не имеет собственных значений, лежащих ниже существенного спектра;

2)Для любого ненулевого оператор имеет единственное собственное значение лежащее на ;

3)Для любых и оператор имеет единственное собственное значение Более того

и

В силу теоремы 2 можно сформулировать аналогичную теоремы о собственном значении оператора лежащих правее его существенного спектра.

Заметим, что теорема 2 играет важную роль при изучени структуры существенного спектра оператора

действующего в гильбертовом пространстве

Здесь под знаком интеграла стоят одинаковые слои.

Литература:

  1. Ю. А. Изюмов, М. В. Медведев. Магнитный полярон в ферромагнитном кристалле. ЖЭТФ. 1970, вып. 2, № 8, с. 553–560.
  2. А. Т. Mogilner. Hamiltonians of solid state physics at few particle discrete Schroedinerger operators: problems and results. Advances in Sov. Math. 5 (1991), 139–194.
  3. V. A. Malishev and R. A. Minlos. Linear infinite-particle operators. Translations of Math. Monagraphs. Amer. Math. Soc. Trasl. 177 (1996), № 2, 159–193.
  4. K. O. Friedrichs. On the perturbation of continuous spectra. Comm. Appl. Math. 1 (1948), 361–406.
  5. V. Bach, J. Froehlich, I. M. Sigal. Mathematical theory of non-relavistic matter and radiation. Lett. Math. Phys. 34 (1995), 183–201.
Основные термины (генерируются автоматически): существенного спектра, собственных значений, существенного спектра оператора, единственное собственное значение, собственных значений оператора, сохранении существенного спектра, правее существенного спектра, существовании собственных значений, силу теоремы, структуры существенного спектра, множество собственных значений, собственных значений лежащихлевее, существенным спектром оператора, существенный спектр оператора, собственном значении оператора, силу теоремы Лебега, известной теоремы Г.Вейля, problems and results, большое число задач, -одномерное комплексное пространство.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос