О дискретном спектре одного матричного оператора | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Гайбуллаев Р. К. О дискретном спектре одного матричного оператора // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 1-2. — URL https://moluch.ru/archive/54/7454/ (дата обращения: 21.04.2019).

В рамках проблемы нескольких тел на непрерывном пространстве и на решетке решено большое число задач о собственных значениях для систем квазичастиц, число которых сохраняется. Однако имеются в определенном смысле более интересные задачи, возникающие в теории твердого тела, в которых число квазичастиц не сохраняется . Следует отметить, что системы с несохраняющимся ограниченным числом частиц на непрерывном пространстве рассмотрены в работах .

Гамильтонианы системы с сохраняющимся ограниченным числом квазичастиц (на примере модели Гейзенберга и Хаббарда ) и несохраняющимся ограниченным числом квазичастиц на решетке (на примере s-d модели ) приводят к матричным операторам. Поэтому исследование спектральных свойств таких операторов играет важную роль в современной математической физике.

В настоящей работе рассматривается некоторый матричный оператор. Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

Пусть  — трехмерный куб,  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , С — одномерное комплексное пространство.

Обозначим через  прямую сумму пространств  и , т. е. .

Определение. Гильбертово пространство  называется “двухчастичным обрезанным подпространством пространства Фока.

Рассмотрим оператор , действующий в гильбертовом пространстве  и задающийся как операторная матрица

где операторы  определяются по формулам

Здесь , a — фиксированное вещественное число,  вещественнозначная непрерывная (ненулевая) функция на , а функция  определена по формуле

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В математической физике оператор  называется оператором уничтожения, а оператор  называется оператором рождения.

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

.

Из последних двух фактов следует, что

.

При каждом фиксированном  определим регулярную  функцию

(детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции . Верна следующая

Лемма 1. Число  является собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает, что для дискретного спектра  оператора  имеет место равенство

.

Отметим, что для любого  справедливо неравенство , отсюда следует, что

,

а также

при .

Так как функция  имеет единственный невырожденный минимум в точке  имеет единственный невырожденный максимум в точке  а также функция  есть непрерывная функция на , то

,

являются конечными интегралами.

При  положим

а также при  положим

Следующие теоремы описывают множества собственных значений оператора .

Теорема 1. 1) Пусть  Тогда при всех значениях  оператор  имеет единственное простое отрицательное собственное значение;

2) Пусть . Тогда для любого  оператор  не имеет отрицательных собственных значений, а при всех значениях  оператор  имеет единственное простое отрицательное собственное значение.

Теорема 2. 1) Пусть . Тогда при всех значениях  оператор  имеет единственное простое собственное значение, лежащее правее точки ;

2) Пусть . Тогда для любого  оператор  не имеет собственных значений, лежащее правее точки , а при всех значениях  оператор  имеет единственное простое собственное значение, лежащее правее точки .

Доказательство теоремы 1 и 2 основаны на свойствах функции  и леммы 1.

Замечание. Из теоремы 1 и 2 видно, что если , то при всех значениях  оператор  имеет две простых собственных значений, лежащих левее точки  и правее точки , соответственно.

Литература:

1.                 Изюмов Ю. А., Медведев М. В. Магнитный полярон в ферромагнитном кристалле. Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1970, вып. 2(8), 553–560.

2.                 Minlos R. A., Spohn H. The Three-Body Problem in Radioactive Decay: The Case of One Atom and At Most Two Photons. Amer. Math. Soc. Transl. 177 (1996), pp. 159–193.

3.                 Жуков Ю. В., Минлос Р. А. Спектр и рассеяние в модели “спин-бозон” с не более чем тремя фотонами. Теоретическая и математическая физика, 103 (1995), No 1, c. 63–81.

4.                 Mattis D. The few-body problem on a lattice. Rev. Modern Phys., 58 (1986), pp. 361–379.

5.                 Lieb E. Two theorems of the Hubbard model. Phys. Rev. Lett. 62 (1989), pp. 1201–1204.

6.                 Mogilner A. J. Hamiltonians in Solit-State Physics as Multi-particle Discrete Shro’dinger Operators: Problems and Results. Adances in Soviet Mathematics, 5 (1991), pp. 139–194.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, собственное значение оператора, гильбертово пространство, единственное простое отрицательное собственное значение, единственное простое собственное значение, непрерывное пространство, существенный спектр оператора, функция.


Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число, существенный спектр...

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

оператор, любой, сила леммы, существенный спектр, собственное значение оператора, функция, непрерывный спектр, одномерная решетка, дискретный спектр оператора, гильбертово пространство.

Описание множества собственных значений одной блочной...

оператор, гильбертово пространство, оператор уничтожения, существенный спектр, оператор рождения, блочно-операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор, обобщенная модель, квантовая механика...

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только...

линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ оператора, функция, линейный ограниченный оператор, непрерывная функция...

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

оператор, собственное значение оператора, гильбертово пространство, единственное собственное значение, обобщенная модель, параметр взаимодействия, существенный спектр оператора, существенный спектр.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное .

Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969. A. I. Mogilner.

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

любой, собственное значение матрицы, симметрический оператор, сегмент, самосопряженное расширение оператора, оператор, обобщенная резольвента, непрерывная часть спектра оператора, гильбертово...

Похожие статьи

Условия существования собственных значений одной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число, существенный спектр...

Собственные значение модели Фридрихса в одномерном случае

оператор, любой, сила леммы, существенный спектр, собственное значение оператора, функция, непрерывный спектр, одномерная решетка, дискретный спектр оператора, гильбертово пространство.

Описание множества собственных значений одной блочной...

оператор, гильбертово пространство, оператор уничтожения, существенный спектр, оператор рождения, блочно-операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор, обобщенная модель, квантовая механика...

Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только...

линейный оператор, числовой образ, собственное значение оператора, оператор, гильбертово пространство, числовой образ оператора, функция, линейный ограниченный оператор, непрерывная функция...

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

гильбертово пространство, интегральный оператор, бесконечнократное собственное значение, собственное значение оператора, полученное выражение, оператор, теорема, уравнение, функция.

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

оператор, собственное значение оператора, гильбертово пространство, единственное собственное значение, обобщенная модель, параметр взаимодействия, существенный спектр оператора, существенный спектр.

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное .

Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969. A. I. Mogilner.

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

любой, собственное значение матрицы, симметрический оператор, сегмент, самосопряженное расширение оператора, оператор, обобщенная резольвента, непрерывная часть спектра оператора, гильбертово...

Задать вопрос