Об одном представлении функции многих переменных, имеющей невырожденный минимум | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Исламова Д. Д., Халимова Ш. С., Бахранова Г. О. Об одном представлении функции многих переменных, имеющей невырожденный минимум // Молодой ученый. — 2017. — №4. — С. 110-113. — URL https://moluch.ru/archive/138/38621/ (дата обращения: 24.05.2018).



Пусть . Рассмотрим вещественнозначную аналитическую функцию на . Получен одно важное представление для этой функции.

Условие 1. Функция является четной по совокупности переменных , (), имеет единственный невырожденный минимум в точке и существуют положительно определенная матрица , числа такие, что

.

Замечание. Условия 1 выполняется в случае, когда

,

где

.

Действительно, простые вычисления показывают, что

;

;

.

Поэтому

,

где единичная матрица размера .

Положим

и .

Теорема 1. Пусть выполняется условия 1. Тогда существует некоторая -окрестность точки такая, что имеет место равенство

и . Здесь функция удовлетворяет условию

(1)

для некоторого .

Доказательство. Так как функция аналитична, то по формуле Тейлора для функций с несколькими переменными существует такое, что

для каждого , где

(2)

и - положительные числа, .

Функция - чётна, следовательно,

.

Функция - аналитична, поэтому [1] существует положительное число , ограничивающее все частные производные 4-порядка функции , именно,

для каждого . Из (2) имеем

.

Так как - симметричен, т.e. , получим

(где означает транспонированную матрицу).

Поэтому

По условию 1

и матрица

положительно определена. Отсюда следует, что и, следовательно, . Теорема 1 доказана.

Теорема 1 играет важную роль при изучении поведении определителя Фредгольма соответствующий модели Фридрихса.

Литература:

  1. В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.
Основные термины (генерируются автоматически): невырожденный минимум, единственный невырожденный минимум, вещественнозначную аналитическую функцию, совокупности переменных, представлении функции, Халимова Ш, определенная матрица, Молодой ученый.


Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос