Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (149) апрель 2017 г.

Дата публикации: 18.04.2017

Статья просмотрена: 11 раз

Библиографическое описание:

Дилмуродов Э. Б. Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2017. — №15. — С. 105-106. — URL https://moluch.ru/archive/149/42239/ (дата обращения: 24.06.2018).



Пусть — комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество

называется числовым образом оператора

Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества дает некоторые информации об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1]. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2–4].

Пусть - -мерный тор с условием и — гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через прямую сумму пространств и , т. е. .

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица

,

где матричные элементы , определяются по формулам

,

Здесь , , и вещественнозначные непрерывные функции на , а сопряженный оператор к . Оператор называется оператором уничтожения, а называется оператором рождения.

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство , где числа и определяются следующим образом: , .

Определим регулярную в функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором A)

.

Тогда оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Далее, в случае существовании собственных значений оператора обозначим их через , . Для определенности предположим, что и .

Пусть фиксированное натуральное число. На протяжении всей работы будем предполагать, что функция имеет невырожденный минимум в точках , .

Пусть

,

, .

Так как функция имеет невырожденный минимум в точках , , существуют числа , , и такие, что

, , ; (1)

, . (2)

Имеет место равенство

(3)

Учитывая неравенства (1) и непрерывность функции на имеем, что - тое () слагаемое в правой части (3) оценивается следующим образом:

.

Переходя в сферическую систему координат убедимся, что последний интеграл конечна. конечность последнего слагаемого в правой части (3), т. е. интеграл по вытекает из непрерывности функции на и неравенства (2).

Положим

.

Следующая теорема описывает структуру числового образа оператора .

Теорема. Пусть .

1) Если , то верно равенство .

2) При имеет место равенство .

Литература:

  1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer. Math. Z., 2:1–2 (1918), 187–197.
  2. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
  3. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators. Integr. Equ. Oper. Theory, 71 (2011), 245–257.
  4. M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets. Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.
Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.


Похожие статьи

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Стандартным образом (cм., например, [1]) можно построить обобщенную резольвенту оператора , которая при любом невещественном является...

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра

Так как функция имеет невырожденный минимум в точке , для найденных положительных и также имеет место неравенства.

. Пусть – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Условия существования собственных значений одной операторной...

Хорошо известно, что любой линейный ограниченный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , всегда представляется как

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Структура численного диапазона обобщенной модели Фридрихса

Изучение численного диапазона линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано...

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Условия существования виртуального уровня обобщенной модели...

виртуальный уровень, оператор, функция, решение уравнения, трехмерный тор, существенный спектр, нулевая энергия, невырожденный минимум, гильбертово пространство, обобщенная модель.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках

Изучено число и местоположение собственных значений оператора в зависимости от параметра взаимодействия .

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О кратности непрерывного спектра дифференциального...

в гильбертовом пространстве вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением.

Стандартным образом (cм., например, [1]) можно построить обобщенную резольвенту оператора , которая при любом невещественном является...

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра

Так как функция имеет невырожденный минимум в точке , для найденных положительных и также имеет место неравенства.

. Пусть – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Условия существования собственных значений одной операторной...

Хорошо известно, что любой линейный ограниченный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , всегда представляется как

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Структура численного диапазона обобщенной модели Фридрихса

Изучение численного диапазона линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано...

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Условия существования виртуального уровня обобщенной модели...

виртуальный уровень, оператор, функция, решение уравнения, трехмерный тор, существенный спектр, нулевая энергия, невырожденный минимум, гильбертово пространство, обобщенная модель.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках

Изучено число и местоположение собственных значений оператора в зависимости от параметра взаимодействия .

Задать вопрос