Пороговое собственное значение модели Фридрихса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (95) август-1 2015 г.

Дата публикации: 06.08.2015

Статья просмотрена: 14 раз

Библиографическое описание:

Рашидов А. Ш., Халлокова О. О. Пороговое собственное значение модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2015. — №15. — С. 1-3. — URL https://moluch.ru/archive/95/21334/ (дата обращения: 22.10.2018).

Пороговые явления для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [1–3], a для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке изучены в работах [4,5]. Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств модели Фридрихса [6–8]. Поэтому изучение пороговых явлений для модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.

В настоящей работе рассматривается модель Фридрихса , , в случае функции специального вида , являющейся параметром этого оператора. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора . Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы, число  являлось собственным значением оператора , в зависимости от точки минимума функции . При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Пусть - трехмерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе  рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в  по модулю , где  и - множество вещественных и целых чисел, соответственно.

Пусть  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Рассмотрим модель Фридрихса , , действующий в  как , где операторы  и  определяются по правилам:

.

Здесь -вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , а функция  определена по формулам

.

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Очевидно, что при таких предположениях оператор  ограничен и самосопряжён в .

Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным одномерным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [9] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что . Из последних фактов следует, что .

Определим регулярную в  функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Лемма 1. Оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает, что , где

.

Рассмотрим следующие точки из : .

Легко проверяется, что функция  имеет невырожденный минимум в точках . Функция  является непрерывной на , поэтому существует конечный интеграл

.

Полагая

получим, что  тогда и только тогда, когда .

Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, число  являлось собственным значением оператора .

Теорема 1. Оператор  имеет нулевое собственное значение тогда и только тогда, когда  и .

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор  имеет нулевое собственное значение и  — соответствующая собственная функция. Тогда  удовлетворяет уравнению , т. е.

.                                                                                    (1)

Из (1) вытекает, что  имеет вид

                                                                                                          (2)

где

                                                                                                          (3)

Подставляя выражение (2) для  в (3) получим, что , т. е. . Теперь докажем, что  тогда и только тогда, когда , . Действительно, если при некотором  верно , то из четности дважды непрерывна дифференцируемой функции  следует, что существуют числа  и ,  такие, что

,                                                                                 (4)

где .

Кроме того из определения функции  для некоторых  и  получим, что

,                                                            (5)

.                                                                (6)

Имеет место равенство

.                                       (7)

Учитывая неравенства (3)-(6) имеем, что –ая () слагаемая в правой части (7) конечна тогда и только тогда, когда . В случае ,  имеем

.

Таким образом  тогда и только тогда, когда , .

Достаточность. Пусть  и . Тогда легко можно проверить, что функция , определенный по формуле (2), удовлетворяет уравнению . Выше доказали, что если , то . Теоремы 1 доказано.

В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор  имеет нулевое собственное значение, то функция , определенная по формуле (2), удовлетворяет уравнению  и .

Отметим, что теорема 1 играет важную роль [10] при изучении конечности или бесконечности дискретного спектра соответствующего трехчастичного модельного оператора в зависимости от точки минимума функции .

 

Литература:

 

1.      Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.

2.      Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.

3.      Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке. Теор. и мат. физ., 136:2 (2003), С. 231–245.

4.      Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbation. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.

5.      Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.

6.      Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.

7.      Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.

8.      Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.

9.      Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.

10.  Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теор. и матем. физ. 163:1 (2010), С. 34–44.

Основные термины (генерируются автоматически): нулевое собственное значение, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, оператор, функция, минимум функции, трехмерный тор, существенный спектр, невырожденный минимум, дискретный спектр, вещественное число, дифференцируемая функция.


Похожие статьи

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

нулевая энергия, оператор, функция, резонанс, существенный спектр оператора, собственное значение, вещественное число, дискретный спектр, невырожденный минимум, существенный спектр.

Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций...

матричный оператор размера, функция, вещественное число, единственный невырожденный минимум, невырожденный минимум, последняя матрица, совпадающий невырожденный минимум, существенный спектр, работа.

Условия существования собственных значений одной...

Описывается его существенный и дискретный спектры.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Условия существования виртуального уровня обобщенной модели...

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках

О дискретном спектре одного матричного оператора

. Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет единственный невырожденный максимум в точке а также функция есть непрерывная функция на , то.

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках

Лемма 1. При каждом фиксированном число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

, где - вещественно значная непрерывная функция на . Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

нулевая энергия, оператор, функция, резонанс, существенный спектр оператора, собственное значение, вещественное число, дискретный спектр, невырожденный минимум, существенный спектр.

Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций...

матричный оператор размера, функция, вещественное число, единственный невырожденный минимум, невырожденный минимум, последняя матрица, совпадающий невырожденный минимум, существенный спектр, работа.

Условия существования собственных значений одной...

Описывается его существенный и дискретный спектры.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Условия существования виртуального уровня обобщенной модели...

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках

О дискретном спектре одного матричного оператора

. Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет единственный невырожденный максимум в точке а также функция есть непрерывная функция на , то.

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках

Лемма 1. При каждом фиксированном число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

, где - вещественно значная непрерывная функция на . Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Задать вопрос