В квантовой теории поля встречаются интегральные операторы вида
, (1)
где 
ограниченные функции на 
. В монографии К. О. Фридрихса [1] описана типичная ситуация, приводящая к операторам вида (1). Аналогичные операторы встречаются, например, в работах [2, 3, 4] и др. С другой стороны, изучение разрешимости частных интегральных уравнений вида 
, в пространстве 
, где 
- заданная функция из 
, является важным при исследовании спектра решетчатых гамильтонианов много частичной системы [5, 6] и интересным с математической точки зрения. Надо отметить, что в 1975 г. Л. М. Лихтарников и Л. З. Витова [7] впервые начали изучать спектральные свойства частично интегральных операторов. В работе [7] исследован спектр самосопряженного частично интегрального оператора с ядрами из гильбертово пространства 
.
В данной работе подробно изучаются спектр и резольвента одного ограниченного самосопряженного частично интегрального оператора.
Рассмотрим частично интегральный оператор 
, заданный в гильбертовом пространстве 
по правилу
,
где 
- вещественно значная непрерывная функция на 
. Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .
Всюду в работе через 
обозначена норма элемента из .
Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора 
и их кратность.
Теорема 1.Число 
является бесконечнократным собственным значением оператора , а число 
является его простым собственным значением.
Доказательство. Сначала докажем
. Рассмотрим уравнение 
или
.
Видно, что функции вида 
, где 
любая функция, а функция 
ортогональна к функции 
. Очевидно, что подпространство таких функций 
имеет размерность равный бесконечности. Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .
Пусть теперь 
. Рассмотрим уравнение 
или
. (2)
Так как , из уравнения (2) для имеем
, (3)
где
. (4)
Подставляявыражение (3) для 
в равенству (4) получим, что уравнение (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
.
Если 
, то в силу равенства (3) имеем 
. Это противоречие показывает, что 
, т. е. число 
является собственным значением оператора 
и соответствующая собственная функция имеет вид 
, где 
произвольная функция. Теорема 1 доказана.
Таким образом имеет места равенства
.
Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора 
.
Теорема 2. При каждом фиксированном 
резольвента 
оператора 
определяется следующим образом:
.
Доказательство. Пусть 
. Для построения резольвенты 
нам понадобится рассмотреть уравнение 
для любых 
, т. е.
. (5)
Так как 
, из уравнения (5) для 
имеем
, (6)
где
определен по формуле (4). Подставляя полученное выражение (6) для в равенству (3) имеем
или
.
Учитывая соотношение 
, для имеем
Далее, подставляя полученное выражение для 
в равенство (6) приходим к равенству 
, . Теорема 2 доказана.
Литература:
- К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
- В. А. Какичев, Н. В. Коваленко. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами // Украинский математический журнал, 1973, Т. 25, № 3, С. 302–312.
-
J. Appell, E. V. Frolova, A. S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. Partial integral operators on
// Integral Equations and Operator Theory, 1997, V. 27, No. 2, P. 125–140.
- А.S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. On the theory of partial integral operators // J. Integral Equations Appl., 1991, V. 3, No. 3, P. 351–382.
- D. Mattis. The few-body problem in a lattice // Rev. Modern Phys., 1986, V. 58, No. 2, P. 361–379.
- А.I. Mogilner. Hamiltonians in solid-state physics as multi-particle discrete Scroedinger operators: problems and results // Adv. Soviet Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991, V. 5, P. 139–194.
- Л. М. Лихтарников, Л. З. Витова. О спектре интегрального оператора с частными интегралами // Литовск. Матем. Сб., 1975, Т. 15, № 2, С. 41–47.
