Автор: Примов Жамшид Фахриддинович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (112) апрель-2 2016 г.

Дата публикации: 27.04.2016

Статья просмотрена: 5 раз

Библиографическое описание:

Примов Ж. Ф. Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 23-25.



В квантовой теории поля встречаются интегральные операторы вида

, (1)

где ограниченные функции на . В монографии К. О. Фридрихса [1] описана типичная ситуация, приводящая к операторам вида (1). Аналогичные операторы встречаются, например, в работах [2, 3, 4] и др. С другой стороны, изучение разрешимости частных интегральных уравнений вида , в пространстве , где - заданная функция из , является важным при исследовании спектра решетчатых гамильтонианов много частичной системы [5, 6] и интересным с математической точки зрения. Надо отметить, что в 1975 г. Л. М. Лихтарников и Л. З. Витова [7] впервые начали изучать спектральные свойства частично интегральных операторов. В работе [7] исследован спектр самосопряженного частично интегрального оператора с ядрами из гильбертово пространства .

В данной работе подробно изучаются спектр и резольвента одного ограниченного самосопряженного частично интегрального оператора.

Рассмотрим частично интегральный оператор , заданный в гильбертовом пространстве по правилу

,

где - вещественно значная непрерывная функция на . Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Всюду в работе через обозначена норма элемента из .

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Доказательство. Сначала докажем . Рассмотрим уравнение или

.

Видно, что функции вида , где любая функция, а функция ортогональна к функции . Очевидно, что подпространство таких функций

имеет размерность равный бесконечности. Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Пусть теперь . Рассмотрим уравнение или

. (2)

Так как , из уравнения (2) для имеем

, (3)

где

. (4)

Подставляявыражение (3) для в равенству (4) получим, что уравнение (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

.

Если , то в силу равенства (3) имеем . Это противоречие показывает, что , т. е. число является собственным значением оператора и соответствующая собственная функция имеет вид , где произвольная функция. Теорема 1 доказана.

Таким образом имеет места равенства

.

Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Теорема 2. При каждом фиксированном резольвента оператора определяется следующим образом:

.

Доказательство. Пусть . Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е.

. (5)

Так как , из уравнения (5) для имеем

, (6)

где определен по формуле (4). Подставляя полученное выражение (6) для в равенству (3) имеем

или

.

Учитывая соотношение , для имеем

Далее, подставляя полученное выражение для в равенство (6) приходим к равенству , . Теорема 2 доказана.

Литература:

  1. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
  2. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами // Украинский математический журнал, 1973, Т. 25, № 3, С. 302–312.
  3. J. Appell, E. V. Frolova, A. S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. Partial integral operators on // Integral Equations and Operator Theory, 1997, V. 27, No. 2, P. 125–140.
  4. А.S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. On the theory of partial integral operators // J. Integral Equations Appl., 1991, V. 3, No. 3, P. 351–382.
  5. D. Mattis. The few-body problem in a lattice // Rev. Modern Phys., 1986, V. 58, No. 2, P. 361–379.
  6. А.I. Mogilner. Hamiltonians in solid-state physics as multi-particle discrete Scroedinger operators: problems and results // Adv. Soviet Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991, V. 5, P. 139–194.
  7. Л. М. Лихтарников, Л. З. Витова. О спектре интегрального оператора с частными интегралами // Литовск. Матем. Сб., 1975, Т. 15, № 2, С. 41–47.
Основные термины (генерируются автоматически): интегрального оператора, собственным значением оператора, бесконечнократным собственным значением, гильбертовом пространстве, partial integral operators, спектре интегрального оператора, Integral Equations, Kalitvin and, фиксированном резольвента оператора, собственных значений оператора, интегральных уравнений, Integral Equations and, виде резольвенты оператора, простым собственным значением, частными интегралами, значная непрерывная функция, Integral Equations Appl, интегральных уравнений вида, соответствующая собственная функция, problems and results.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос