Условия существования виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 10 раз

Библиографическое описание:

Элмуродова Х. Б. Условия существования виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 62-65. — URL https://moluch.ru/archive/117/32055/ (дата обращения: 22.07.2018).



В настоящей работе рассматривается обобщенная модель Фридрихса , действующая в прямой сумме 0 — и 1 — частичных подпространств Фоковского пространства.

Такие модели обычно возникают в актуальных задачах квантовой механики, статистической механики и гидродинамики [1–3]. Пороговые резонансы для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке, изучены в работах [4,5], a для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [6,7]. В данной работе обсуждается случай параметра функции специального вида. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора . Исследуются необходимые и достаточные условия для того, чтобы, оператор имел виртуальный уровень в точке (или резонанс с нулевой энергией) в зависимости от точки минимума функции . При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Пусть - трехмерный тор, т. е. куб — с соответствующим отождествлением противоположных граней, — одномерное комплексное пространство и — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Символом обозначается прямая сумма пространств и , т. е. . Пространства и называются нольчастичным и одночастичным подпространствами фоковского пространства по , соответственно.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как блочно–операторная матрица

,

где матричные элементы , , определяются равенствами

, .

При этом — фиксированное вещественное число, — вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , функция определена по формулам

,

где сопряженный оператор к и .

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Из известной теоремы Г. Вейля [8] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что .

Определим регулярную в функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Рассмотрим точки из , для которых , причем при . Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках , . Функция является непрерывной на , поэтому существует конечный интеграл

.

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что .

Пусть (соот. ) — банахово пространство непрерывных (соот. интегрируемых) функций, определенных на .

Определение 1.Пусть . Говорят, что оператор имеет виртуальный уровень в точке (или резонанс с нулевой энергией), если число является собственным значением интегрального оператора

и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция удовлетворяет условию при некотором .

Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, оператор имел виртуальный уровень в точке .

Теорема 1.Оператор имеет виртуальный уровень в точке тогда и только тогда, когда и при некотором .

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор имеет виртуальный уровень в точке . Тогда по определению 1 уравнение

(1)

имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее условию при некотором . Видно, что это решение равно (с точностью до константы) функции и следовательно, .

Достаточность. Пусть и при некотором . Тогда функция является решением уравнения (1), и следовательно, по определению 1 оператор имеет виртуальный уровень в точке . Теорема 1 доказано.

Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор имеет виртуальный уровень в точке , тогда решение уравнения равно (с точностью до константы) функции .

Литература:

  1. Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.
  2. Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.
  3. Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебраи анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.
  4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.
  5. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.
  6. Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.
  7. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.
  8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.
Основные термины (генерируются автоматически): виртуальный уровень, оператор, функция, решение уравнения, трехмерный тор, существенный спектр, нулевая энергия, невырожденный минимум, гильбертово пространство, обобщенная модель.


Похожие статьи

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Рассмотрим обобщенной модели Фридрихса , действующее в гильбертовом пространстве и задающихся как блочно–операторная матрица.

Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках , . Функция является непрерывной на , поэтому...

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство, дискретный оператор, оператор, дискретный спектр оператора, помощь парных, работа, дискретный спектр, уравнение.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Рассмотрим модель Фридрихса , действующий в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (комплекснозначных)

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6.

О семействе обобщенных моделей Фридрихса

существенный спектр оператора, гильбертовом пространстве, невырожденный минимум, моделей Фридрихса, производные первого порядка, частные производные первого, первого порядка функции...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Рассмотрим обобщенной модели Фридрихса , действующее в гильбертовом пространстве и задающихся как блочно–операторная матрица.

Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках , . Функция является непрерывной на , поэтому...

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство, дискретный оператор, оператор, дискретный спектр оператора, помощь парных, работа, дискретный спектр, уравнение.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Рассмотрим модель Фридрихса , действующий в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (комплекснозначных)

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6.

О семействе обобщенных моделей Фридрихса

существенный спектр оператора, гильбертовом пространстве, невырожденный минимум, моделей Фридрихса, производные первого порядка, частные производные первого, первого порядка функции...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Рассмотрим обобщенной модели Фридрихса , действующее в гильбертовом пространстве и задающихся как блочно–операторная матрица.

Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках , . Функция является непрерывной на , поэтому...

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство, дискретный оператор, оператор, дискретный спектр оператора, помощь парных, работа, дискретный спектр, уравнение.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Рассмотрим модель Фридрихса , действующий в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (комплекснозначных)

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6.

О семействе обобщенных моделей Фридрихса

существенный спектр оператора, гильбертовом пространстве, невырожденный минимум, моделей Фридрихса, производные первого порядка, частные производные первого, первого порядка функции...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.

Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным...

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Рассмотрим обобщенной модели Фридрихса , действующее в гильбертовом пространстве и задающихся как блочно–операторная матрица.

Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках , . Функция является непрерывной на , поэтому...

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора .

Пусть — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

О собственных значениях одномерной обобщенной модели...

Там обсужден случай, когда параметр функции этой модели имеет специальный вид и невырожденный минимум в , , различных точках шестимерного тора.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и...

Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного...

модельный оператор, существенный спектр, гильбертово пространство, дискретный оператор, оператор, дискретный спектр оператора, помощь парных, работа, дискретный спектр, уравнение.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Рассмотрим модель Фридрихса , действующий в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (комплекснозначных)

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6.

О семействе обобщенных моделей Фридрихса

существенный спектр оператора, гильбертовом пространстве, невырожденный минимум, моделей Фридрихса, производные первого порядка, частные производные первого, первого порядка функции...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

гильбертово пространство, линейный оператор, невырожденный минимум, непрерывность функции, оператор, правая часть, функция, числовой образ оператора.

Задать вопрос