Библиографическое описание:

Гадаев Р. Р., Джонизоков У. А. О семействе обобщенных моделей Фридрихса // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 5-7.



Некоторые задачи физики твердого тела [1], квантовой теории поля [2] и статистической физики [3] приводят к необходимости исследования резонансов и собственных значений обобщенной модели Фридрихса.

В настоящей работе рассматривается семейство обобщенных моделей Фридрихса ,. Рассмотрим случай, когда параметр функция (см. ниже) имеет специальный вид и имеет невырожденный минимум в , в различных точках шестимерного тора .

Пусть — трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в по модулю . Пусть — одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обозначим через прямую сумму пространств и , т. е. . Гильбертово пространство называется двухчастичная обрезанная подпространства Фоковского пространства.

Рассмотрим семейство обобщенных моделей Фридрихса , действующих в гильбертовом пространстве и задающийся как операторная матрица

(1)

где операторы , , и ,

определяются по формулам

, ,

, .

Здесь , -вещественнозначная непрерывная (ненулевая) функция на , а функции и имеют вид , , где функция определяется с помощью равенства

, ,

а натуральное число. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

Легко можно проверить, что в этих предположениях оператор , , определенный по формуле (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Пусть оператор , действует в как

.

Оператор возмущения , оператора , является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора , совпадает с существенным спектром оператора , . Известно, что , где числа и определяются равенствами

, ,

, .

Из последних двух фактов следует, что

. (2)

Замечание 1.Отметим, что существенный спектр оператора , совпадает с точкой и следовательно, для любого мы не можем сказать, что существенный спектр оператора является абсолютно непрерывным.

Обозначим через число тех точек таких, что , и , , , для всех , где

Легко можно проверить, что и функция имеет невырожденный минимум в точках , .

Дополнительно будем предпологать, что Потому что, если , тогда и в настоящей работе нам интересен случай .

Замечание 2. Заметим, что верно равенство , .

Из определения числа и равенства (2) вытекает, что . При каждом фиксированном определим регулярную в функцию (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором , )

.

Далее, везде дополнительно предполагается, что все частные производные первого порядка функции непрерывны на .

Так как функция имеет невырожденный минимум, равный нулю в точках , и все частные производные первого порядка функции непрерывны на , существует конечный интеграл

, .

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега и равенства , следует, что

, .

Теорема 1.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда и , .

Литература:

  1. D. C. Mattis. The few-body problem on a lattice. Rev. ModernPhys., 58 (1986), No. 2, 361–379.
  2. Фридрихс К. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир.1972.
  3. Малышев В. А., Минлос Р. А. Кластеpные операторы. Тpуды семинаpа им. И. Г. Петpовского, 1983. Вып. 9. c.63–80.
Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, гильбертовом пространстве, невырожденный минимум, моделей Фридрихса, производные первого порядка, частные производные первого, первого порядка функции, порядка функции непрерывны, настоящей работе, операции сложения, вещественное число, существенным спектром оператора, собственным значением оператора, точках шестимерного тора, гильбертово пространство квадратично, самосопряженным оператором ранга, отождествлением противоположных граней, необходимости исследования резонансов, прямую сумму пространств, задачи физики твердого.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос