Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным возмущением | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (95) август-1 2015 г.

Дата публикации: 06.08.2015

Статья просмотрена: 8 раз

Библиографическое описание:

Халлокова О. О. Пороговый резонанс для модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой ученый. — 2015. — №15. — С. 3-7. — URL https://moluch.ru/archive/95/21335/ (дата обращения: 24.09.2018).

Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств модели Фридрихса [1–3]. Пороговые резонансы для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке изучены в работах [4,5], a для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [6–8]. Поэтому изучение пороговых резонансов для модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.

В настоящей работе рассматривается модель Фридрихса , , в случае функции специального вида , являющейся параметром этого оператора. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора . Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы, оператор  имел резонанс с нулевой энергией в зависимости от точки минимума функции . При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .

Пусть - трехмерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе  рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в  по модулю , где  и - множество вещественных и целых чисел, соответственно.

Пусть  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Рассмотрим модель Фридрихса , , действующий в  как , где операторы  и  определяются по правилам:

.

Здесь -вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , а функция  определена по формулам

.

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Очевидно, что при таких предположениях оператор  ограничен и самосопряжён в .

Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным одномерным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [9] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что . Из последних фактов следует, что .

Определим регулярную в  функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Лемма 1. Оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает, что , где

.

Рассмотрим точки  из , для которых

,

причем  при . Ясно, что число таких точек равно 27.

Легко проверяется, что функция  имеет невырожденный минимум в точках , . Функция  является непрерывной на , поэтому существует конечный интеграл

.

Полагая

получим, что  тогда и только тогда, когда .

Пусть  (соот. ) — банахово пространство непрерывных (соот. интегрируемых) функций, определенных на .

Определение 1. Говорят, что оператор  имеет резонанс с нулевой энергией, если число  является собственным значением интегрального оператора

и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция  удовлетворяет условию  при некотором .

Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, оператор  имел резонанс с нулевой энергией.

Теорема 1. Оператор  имеет резонанс с нулевой энергией тогда и только тогда, когда  и  при некотором .

Доказательство. Необходимость. Пусть оператор  имеет резонанс с нулевой энергией. Тогда по определению 1 уравнение

                                                                                            (1)

имеет нетривиальное решение , удовлетворяющее условию  при некотором . Видно, что это решение равно (с точностью до константы) функции  и следовательно, , т. е. .

Достаточность. Пусть  и  при некотором . Тогда функция  является решением уравнения (1), и следовательно, по определению 1 оператор  имеет резонанс с нулевой энергией. Теорема 1 доказано.

Теперь докажем, что если оператор  имеет резонанс с нулевой энергией, то функция , определенная по формуле

                                                                                                              (2)

удовлетворяет уравнению  и .

Действительно, если при некотором  верно , то из непрерывности функции  следует, что существуют числа  и  такие, что

,                                                                                        (3)

где

.

Кроме того из определения функции  для некоторых  и  получим, что

,                                                            (4)

.                                                                              (5)

Имеет место равенство

.

Если при некотором  верно , то используя неравенства (3)-(5) получим, что

,

.

Таким образом если при некотором  верно , то . Это и означает, что в определении 1 требование наличия собственного значения  оператора  соответствует существованию решения уравнения , а из условия  верно  следует, что решение  этого уравнения не принадлежит пространству .

Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор  имеет резонанс с нулевой энергией, тогда решение уравнения  равно (с точностью до константы) функции .

Отметим, что теорема 1 играет важную роль [10] при изучении конечности или бесконечности дискретного спектра соответствующего трехчастичного модельного оператора в зависимости от точки минимума функции .

 

Литература:

 

1.      Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.

2.      Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.

3.      Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.

4.      Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.

5.      Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.

6.      Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.

7.      Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.

8.      Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке. Теор. и мат. физ., 136:2 (2003), С. 231–245.

9.      Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.

10.  Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теор. и матем. физ. 163:1 (2010), С. 34–44.

Основные термины (генерируются автоматически): нулевая энергия, оператор, функция, резонанс, существенный спектр оператора, собственное значение, вещественное число, дискретный спектр, невырожденный минимум, существенный спектр.


Похожие статьи

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Основные термины (генерируются автоматически): нулевое собственное значение, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, оператор, функция, минимум функции, трехмерный тор, существенный спектр, невырожденный минимум...

О дискретном спектре одного матричного оператора

. Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет...

Условия существования виртуального уровня обобщенной модели...

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках

Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций...

Основные термины (генерируются автоматически): матричный оператор размера, функция, вещественное число, единственный невырожденный минимум, невырожденный минимум, последняя матрица, совпадающий невырожденный минимум, существенный спектр, работа.

Условия существования собственных значений одной...

Описывается его существенный и дискретный спектры.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального оператора. Спектр и числовой образ одного интегрального оператора.

Замечание 1.Отметим, что существенный спектр оператора...

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, невырожденный минимум, функция, вещественное число, оператор, порядок функции.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса...

Очевидно, что функция имеет невырожденный нулевой минимум в точках , и невырожденный максимум в точках , , равный 6. Ясно, что оператор возмущения оператора является самосопряженным двумерным оператором.

Пороговое собственное значение модели Фридрихса

Основные термины (генерируются автоматически): нулевое собственное значение, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, оператор, функция, минимум функции, трехмерный тор, существенный спектр, невырожденный минимум...

О дискретном спектре одного матричного оператора

. Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Так как функция имеет единственный невырожденный минимум в точке имеет...

Условия существования виртуального уровня обобщенной модели...

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках

Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций...

Основные термины (генерируются автоматически): матричный оператор размера, функция, вещественное число, единственный невырожденный минимум, невырожденный минимум, последняя матрица, совпадающий невырожденный минимум, существенный спектр, работа.

Условия существования собственных значений одной...

Описывается его существенный и дискретный спектры.

Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое...

Основные термины (генерируются автоматически): функция, обобщенная модель, существенный спектр оператора, оператор, нулевое собственное значение, невырожденный минимум, существенный спектр, дискретный спектр, трехмерный тор...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Отсутствие дискретного спектра одного частично интегрального оператора. Спектр и числовой образ одного интегрального оператора.

Замечание 1.Отметим, что существенный спектр оператора...

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, невырожденный минимум, функция, вещественное число, оператор, порядок функции.

Задать вопрос