Метод суммирования расходящихся рядов путем сведения к повторному ряду

Пономаренко, Артем Николаевич

В статье представлены формулы и методы нахождения обобщенных сумм знакопеременных рядов, в основном расходящихся, путем преобразования к повторным рядам вложенного типа.

Общий вид повторных рядов вложенного типа:

Расходящиеся знакопеременные ряды можно классифицировать по таким трем классам:

1. Ряды с постоянным радиусом обвертывания:

Сумма такого ряда равна , этот результат достигается многими методами, которые, в силу их известности, демонстрировать в данной статье нет смысла.

2. Ряды с ограниченным радиусом обвертывания: , где

На пример ряд: , его обобщенной суммой будет

3. Ряды с бесконечным радиусом обвертывания: , где

Самым известным таким рядом является:

Формула 1:

Доказательство:

Пусть - абсолютно сходящийся ряд. Тогда по известной теореме, если некоторый ряд сходится абсолютно, то и любой повторный ряд, составленный из его членов в произвольном порядке, сходится, и притом к той же сумме. И наоборот; абсолютная сходимость повторного ряда ведет за собою абсолютную сходимость одинарного, составленного из его членов и при том к той же сумме.

Далее, пусть ряд сходится не абсолютно, либо и вовсе расходится. По равенству в доказательстве, любой член ряда будет полностью просуммирован после начала суммирования -го ряда в двойном ряде , т. е. ряда .

Тогда каждому возрастанию номера будет отвечать факт следующего полностью просуммированного члена ряда

Исходя из этого, ряд, у которого сумма преобразится в ряд с аналогичной суммой: , а знакопеременный ряд с некоторой обобщенной суммой будет преобразован в ряд с такой же суммой. Этим доказательство завершается.

Следствие 1.1:

Следствие 1.2:

Следствие 1.3:

Наглядно, формула 1 представляет собою преобразование ряда в сумму бесконечного количества рядов , каждый последующий из которых лишен первого члена в сравнении с предыдущим:

Пусть рядсходится к сумме (сумма может быть и обобщенной). Тогда нетрудно заметить, что , ,…, .

Самым простым применением формулы 1 может быть суммирование ряда ;

Следующим применением формулы 1 есть суммирование ряда:

Так как , то

Исходя из этого,

Следует заметить, что хоть формула 1 с ее следствиями, знакопеременный ряд с некоторой обобщенной суммой преобразует в ряд с такой же суммой, но радиус обвертывания при этом может и не совпадать. Первым примером того будет суммирование по формуле 1, ряда:

В данном случае для отыскания суммы, ряд с бесконечным радиусом обвертывания был преобразован в ряд, у которого радиус обвертывания есть число постоянное.

Вторым примером может быть ряд . Применение к нему следствия 1.1, которое является частным случаем формулы 1, дает равенство:

Ряд имеет постоянный радиус обвертывания, следственно имеет лишь обобщенную сумму, в то время как ряд в последнем равенстве справа сходится, и соответственно имеет радиус обвертывания равный нулю.

Формула 2: ,

где — разностный оператор: , рядсходится, либо является знакопеременным и имеет обобщенную сумму.

Доказательство:

В силу того, что:

,

и учитывая, что сумма не зависит от обозначения переменной суммирования:

,

изначальную сумму можно представить в виде:

, (1*)

где - антиразностный оператор от :

Равенство (1*) может быть представлено в виде:

(2*)

Равенство (2*) является полностью аналогичным требуемой формуле:

В силу того, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой и абсолютную сходимость любого повторного ряда, составленного из его членов в произвольном порядке, и притом к той же сумме; формула 2, в случае абсолютно сходящегося ряда, является оправданной. В противном случае рассуждения аналогичны с доказательством формулы 1, которая является частным случаем формулы 2 при . Этим доказательство и завершается.

Обобщением формулы 2 является

Формула 3:

Доказывается аналогично формуле 2.

Формулы: 2 и 3, как и формула 1, действительны и в случае, когда — знакопеременный сходящийся, либо знакопеременный расходящийся ряд с некоторой обобщенной суммой , что будет более детально показано ниже. Если в формулах 2 и 3 за последовательность принять последовательность знакопеременного расходящегося ряда первого типа по классификации, а за принять оставшуюся часть ряда, то при преобразованиях 2 и 3, знакопеременный расходящийся ряд переходит в знакопеременный расходящийся ряд, а обобщенная сумма не нарушится. Далее будут показаны такие случаи.

Формула 4:

Доказательство: по формуле 3, полагая , выходит равенство

(3*)

Так как ,

то две суммы справа в равенстве (3*) будут соответственно иметь вид:

и аналогично:

Если подставить оба результата в равенство (3*), то и выйдет требуемая формула

Общая формула 4:

Формула 4, вместе с ее общим вариантом, действительна и в случае сходящегося знакопеременного ряда , так как он представляет частный случай знакопеременного ряда, а именно ряда, у которого радиус обвертывания приближается к нулю.

В формуле 4 был использован тот факт, что сумма ряда , поэтому она дает нахождение суммы знакопеременного ряда только в ее обобщенном смысле и, не дает никаких сведений о его сходимости или расходимости. Но последнее определяется легко, путем дополнительного анализа.

При этом ряд, преобразованный по формуле 4 или ее общим вариантом, может оказаться как суммируемым обобщенно, так и сходящимся.

Формула 4 позволяет находить обобщенные суммы некоторых видов:

4.1 Нахождение суммы вида:

(В этом пункте и далее будет произвольным вещественным числом, большим нуля)

По формуле 4:

Если положить: , то выйдет легко разрешимое уравнение

, его решением будет:

Возвращение к подстановке приводит к окончательному результату:

Формула 4.1:

Следствие 4.1.1:

Данное следствие примечательно тем, что служит доказательством равенства .

Выводится достаточно просто:

Отсюда, в частности, выходит обобщенная сумма хорошо известного расходящегося ряда

Дальнейшие два следствия формулы 4.1 выводятся заменой на

Следствие 4.1.2:

Следствие 4.1.3:

Оба последних следствия при представляют собой формулы нахождения сумм абсолютно сходящихся знакопеременных рядов.

4.2 Нахождение обобщенной суммы:

Действия аналогичны; по формуле 4 для данного ряда будет справедливо равенство:

Полагая , и учитывая что , выходит уравнение:

, из чего следует

Формула 4.2:

Следствие 4.2.1:

4.3 Нахождение обобщенной суммы:

Очевидно, что , т. е. отсчет суммирования может быть начат с единицы.

Применив формулу 4, переводя для удобства отсчет суммы с единицы, выходит

Второе слагаемое справа равно нулю, а первая сумма справа выводится из известной формулы:

При логарифмировании обеих частей последнего равенства выходит результат:

,

или

;

тогда искомая сумма будет представлена следующей формулой:

Формула 4.3:

Данный результат может быть также представлен в виде:

4.4 Нахождение обобщенной суммы:

Применяя формулу 4,

Как известно, , из чего следует:

4.5 Общая рекуррентная формула нахождения сумм вида: ,

где - натуральное число.

Формула 4.5:

Эта формула может быть представлена в таких видах:

—

Последний вариант наиболее пригоден к вычислению.

Доказательство формулы 4.5: По формуле 4, будет справедливым равенство:

,

из чего следует:

При раскрытии скобок во всем равенстве и переносе из левой части равенства все слагаемые в правую, кроме , выходит:

Исходя из того, что , последнее равенство может быть окончательно представлено в виде требуемой формулы:

Этим доказательство и завершается.

С помощью рекуррентной формулы 4.5 легко вычислить обобщенные суммы следующих известных расходящихся рядов:

4.5.1:

4.5.2:

4.5.3:

4.5.4:

4.6 Рекуррентная формула для обобщенной суммы вида:

Формула 4.6:

Доказательство:

Если положить:

,

то выйдет уравнение: , решение которого:

Возвращая и их ранее подставленные значения, легко прийти к окончательной формуле.

Ранее было показано, что

С помощью последней выведенной рекуррентной формулы можно получить уже ранее выведенный результат:

Формула 5:

Доказательство: Сначала следует доказать, что ряд:

, имеет обобщенной суммой число .

Методом средних арифметических легко выводиться известная формула:

Тогда:

Аналогично, тем же методом выводится известная формула:

Пусть , тогда

Стало быть,

(4*)

Тогда по формуле 2:

(5*)

Так как , то

,

и тогда все с непарными номерами , в первой из сумм справа в равенстве (5*) будут произведены на , следовательно равняться нулю.

Второе слагаемое справа, в равенстве (5*), ввиду равенства (4*), будет равно

Исходя из этого, равенство (5*) примет вид:

, что и требовалось доказать.

Формула 5 так же имеет множество применений:

Формула 5.1:

Выводится просто; по формуле 5:

(6*)

Ранее уже была выведена формула: , для всех вещественных .

Если в ней положить , то правильность данной формулы при этом не изменится.

И тогда сумма будет равна ,

Это дает возможность равенство (9*) представить в виде

,

а затем, путем элементарных преобразований получить окончательный результат.

Формула 5.1 может быть представлена более наглядно в виде:

5.2 Нахождение обобщенной суммы вида:

Формула 5.2:

Выводится аналогично; по формуле 5:

После элементарных преобразований легко получить требуемую формулу.

5.3 Нахождение обобщенной суммы ряда:

По формуле 5:

Обобщенная формула 5:

Ее доказательство аналогично формуле 5, отличие лишь в том, что за основу берется формула 3.

5.4 Частный вид обобщенной формулы 5

Данная формула выводится подобно предыдущим:

Разложение аналогичным образом по степеням множителя в последнем равенстве, в выражении слева, дает возможность сократить обе части равенства на слагаемое:

Тогда, после перегруппировки, последнее равенство будет иметь вид:

Из этой формулы, в частности, при , и выходит ранее полученный результат:

При :

Формула 5.5:

Выводится аналогично предыдущим случаям из обобщения формулы 5:

В силу равенства:, легко прийти к требуемой формуле.

К примеру,

Формула 6 (общая рекуррентная формула суммирования расходящихся рядов):

,

где — уже вычисленная разность от : ,

- такой множитель, что при суммировании некоторого ряда , его суммирование происходит следующим образом: первая частичная сумма положительна, вторая частичная сумма:отрицательна, третья: положительна и т. д.

Выводится эта формула подобно формулам 4 и 5 на основе тех же соображений.

Так как обобщенная сумма ряда: , что может быть легко доказано методом средних арифметических, то формула 2 может быть применена и на этот более общий случай.

Более краткая интерпретация формулы 6 имеет вид:

Очевидно, при и из этой формулы следуют формула 4 и формула 5 соответственно.

К примеру, пусть требуется просуммировать ряд:

В данном случае, в операторе , будет , так как первые три члена положительны, далее идут три члена с отрицательным знаком, далее три с положительным и т. д.