О построении уравнения разветвления по его группе симметрии



В рассмотрено построение уравнения разветвления (УР) по допускаемой им группе. В основе примененного там метода лежит известная схема из теории инвариантов, изложенная в . Здесь эта задача решается методами группового анализа дифференциальных уравнений при значительно меньшем объеме вычислительной работы. Терминология и обозначения из теории ветвления решений нелинейных уравнений те же, что в .

УР допускает группу G (инвариантно относительно G), если для некоторых ее представлений и

(1)

Всюду ниже УР предполагается аналитическим, т. е. функции голоморфны в окрестности . УР будем называть вещественным, если коммутирует с операцией комплексного сопряжения. Не будем явно указывать зависимость от параметра , не являющуюся существенной для группового анализа. Поэтому следует считать, что коэффициенты построенных ниже систем разветвления являются аналитическими функциями малого параметра . Равенство (1) означает, что для рассматриваемой группы преобразований

(2)

многообразие в пространстве является инвариантным многообразием. Рассматривая — параметрическую группу преобразований (2), будем предполагать, что является неособым инвариантом многообразием, т. е. если — базис алгебры Ли группы (2), то ранг матрицы ν (ν– номер строки, i, j — номера столбцов) на многообразии совпадает с ее общим рангом . Если теперь

(3)

— базисная система функционального независимых инвариантов группы (2), то, согласно, многообразие можно представить в виде и для построения общего вида УР должно быть выполнено условие rank независимости системы (3) по отношению к переменным . Это условие можно заменить требованием . Указанная схема построения инвариантных многообразий приводит к понижению порядка (редукции) УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов .

1. Группы SO (2) и O (2). Если УР допускает группу вращений , то

(далее будем использовать обозначение ).

Теорема. Двумерное УР, допускающее группу вращений SO (2), имеет вид

(4)

Если, кроме того, УР инвариантно относительно отражения , т. е. допускает группу O (2), то в (4) при всех k.

Действительно, инфинитезимальный оператор группы (2) имеет вид

,

а в полярных координатах

,

, откуда . Так как r*=1, то редуцированное с помощью системы инвариантов УР имеет вид , откуда следует

,

.

В силу аналитичности в окресности

Полагая

, получаем (4), где . Инвариантность (4), относительно отражения J дает ,

Следствие. УР (4), допускающее группу SO (2), потенциально, т. е.

, в том и только том случае, если оно, кроме того, инвариантно относительно отражения J.

Действительно, необходимое условие потенциальности векторного поля дает , т. е. . Если же, наоборот, , то

Для построения систем разветвления, допускающих кристаллографические группы, когда вещественное УР инвариантно относительно отражений, удобнее выполнить приведенные выше рассуждения в комплексных переменных

,(5)

.

Это поможет преодолеть технические трудности, связанные с учетом инвариантности УР относительно комплексного сопряжения. Тогда (см., например,)

и, следовательно,

. (6)

Базис инвариантов можно выбрать в виде

.

Тогда система разветвления (неособое инвариантное многообразие) запишется следующим образом:

,

,

или, в силу ее аналитичности по ––

(7)

В соответствии с теоремой. Дополнительная симметрия относительно отражения

дает .

Литература:

1. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985. 184 с.
2. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 280 с.
3. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
4. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. 131 с.
5. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
6. Вайнберг М. М.. Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 526 с.
7. Гончар А. А., Шабат Б. В. Аналитическая функция. Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Математическая энциклопедия. Е.1.М.: Советская энциклопедия. 1977. С.261–273.