Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 2 августа, печатный экземпляр отправим 6 августа
Опубликовать статью

Молодой учёный

Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций многих переменных

Математика
19.03.2018
86
Поделиться
Библиографическое описание
Шарипова, Н. Х. Анализ и применение совпадающих минимумов одной функций многих переменных / Н. Х. Шарипова, Х. А. Розикова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 11 (197). — С. 11-14. — URL: https://moluch.ru/archive/197/48867/.


Пусть — трехмерный тор, т. е. трехмерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в по модулю . Например, если

,

то

.

Рассмотрим функцию многих переменных следующего вида

,

где . Здесь, — некоторое натуральное число.

Простые вычисления показывают, что

;

;

.

Теперь изучаем точки невырожденного минимума функции .

Случай 1. Пусть . Тогда функция имеет единственный невырожденный минимум в точке . Действительно, в этом случае

,

где единичная матрица размера . Поэтому для функции , где

,

имеет место равенство

.

Очевидно, что последняя матрица положительна определенная, и следовательно, функция имеет единственный невырожденный минимум в точке .

Случай 2. Пусть . Введем следующие точки из :

.

В данном случае функция имеет совпадающий невырожденный минимум в точках , и имеет место соотношениt

, .

Следовательно,

, .

Так как последняя матрица положительно определенная, и следовательно, функция имеет невырожденный минимум в точках , .

Случай 3. Пусть . Введем следующие точки из :

,

,

,

,

,

.

В данном случае функция имеет совпадающий невырожденный минимум в точках , и имеет место соотношение

, .

Следовательно, функция имеет невырожденный минимум в точках , .

Теперь остановимся коротко на применениях. Случай обсуждался в работе [1], где изучено существование эффекта Ефимова для матричных операторов. Случай обсуждался в работе [2], где доказана бесконечность числа собственных значений, лежащих в лакунах существенного спектра одного матричного оператора размера . Случай обсуждался в работе [3]. Там показано существование бесконечного числа собственных значений, лежащих в существенном спектре одного матричного оператора размера . Случай произвольного обсуждался в работах [4] и [5], где получена асимптотика дискретного спектра трехчастичного модельного оператора и для матричного оператора размера , соответственно.

Литература:

  1. S.Albeverio, S. N. Lakaev, T. H. Rasulov. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles. Methods of Functional Analysis and Topology. 13:1 (2007), P. 1–16.
  2. M. I. Muminov, T. H. Rasulov. On the eigenvalues of a block operator matrix. Opuscula Mathematica, 35:3 (2015), P. 371–395.
  3. M. I. Muminov, T. H. Rasulov. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space. Communications in Mathematical Analysis. 17:1 (2014), P. 1–22.
  4. Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая и математическая физика. 163:1 (2010), С. 34–44.
  5. Т. Х. Расулов. О числе собственных значений одного матричного оператора. Сибирский математический журнал. 52:2 (2011), С. 400–415.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Молодой учёный №11 (197) март 2018 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 11-14):
Часть 1 (стр. 1-111)
Расположение в файле:
стр. 1стр. 11-14стр. 111

Молодой учёный