Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром.
(1)
где 
малый параметр 
некоторая непрырывная функция своих аргументов. 
ядро
Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]
(2)
где 
(3)
Постоянные 
определяем из условия ограниченности решений
Поставляя значения 
и 
определяемые равенствами (3) в правую часть разложения (2) находим
(4)
(5)
Далее разлогая функцию
в ряд по степеням 
имеем
(6)
Поставляя соотношения (2), (5), и (6) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты пари одинаковых степеней фф получаем
(7)
(8)
(9)
Вводя медленно меняющиеся амплитуду
и фазу 
из уравнения (7) находим
(10)
Поставляя выражение 10 в правую часть уравнения (8) имеем
(11)
Чтобы исключить появление пекулярных (вековых) членов разложения, необходимо положить [3]
—
(12)
где
.
Так как 
те переходя в уравнении (II) к переменной
, получаем
(13)
Определим функции 
и 
посредством соотношений.
(15)
Тогда из уравнения (13) методом вариации параметров, находим
(17)
где 
— медленно меняющиеся функции, определяемые из условия отсутствуют вековых членов в выражениях для 
.
Подставляя равенства (10) и (17) в правую часть уравнения (9) и используя условия отсутствие сингулярных членов в разложений, находим для определения 
и 
уравнения в виде [3, 4]
(18)
,
,
,
Из системы уравнений (18) следует, что если
, то необходимо положить 
так как в противном случае разложение имело бы сингулярные члены. Предположив, что 
,из системы (18) найдем медленно меняющиеся функции 
и 
.
Таким образом, определяются остальные последующие члены разложение (2) Следовательно, при вычислении члена 
нужно учитывать вид решения 
а также равномерную пригодность 
и 
на достаточно большом промежутке времени. Итак используя соотношения (2), (4) формуле (10) и выражение (17) имеем
Литература:
- Самойленко А. М. «К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных систем»// Дифференциальные уравнения.1987.№ 23 стр. 276–278
- Бигун Я. Н., Форчук В. И. «применение метода усреднения для исследования одного класса многочастотного систем с запаздыванием» // Укр. Мат. Журнал 1980 № 2 стр. 149–164.
- Филатов А. Н. «Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений». Ташкент Фан, АН УзССР, 1974 г.
- Кадырбеков Т. К. «Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Механика полимеров». Рига.1973г.
