Применение новых информационных технологий в учебном процессе позволяет повысить не только эффективность, но и качество подготовки специалистов. При подготовке специалистов высшей квалификации по специальности «Математическое и компьютерное моделирование» изучение разностных методов решения уравнений в частных производных, является очень важной частью курса «Численные методы математической физики». Автоматизация решения задач данного типа во много раз ускорит учебный процесс и позволит студентам приобрести навыки математического и компьютерного моделирования различных физических процессов. Авторами был уже реализован алгоритм разностного метода для решения одной задачи для уравнения гиперболического типа [1].
В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная. В них требуется найти решение уравнения в частных производных в данной области пространства, если на границе области решение или его производная заданы. Разностные схемы получаются путем замены производных их конечно-разностными аппроксимациями. В результате приближенное решение эллиптических задач сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для значений искомой функции во внутренних узлах сетки.
Постановка задачи [2]. Требуется построить разностную схему для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа:
, 
, 
,
, 
,
, ,
, 
,
, ,
где 
— заданная функция, 
, 
— заданные числа;
— искомая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в заданной области и краевым условиям на границе данной области.
Решение. В данном случае задача решается в области 
прямоугольной формы, краевые условия заданы на сторонах прямоугольника. В плоскости 
построим сетку
,
где 
, 
, 
, 
;
, 
— величины шагов по 
и по 
;
, 
, 
и 
— целые положительные числа.
Заменим дифференциальные операторы в уравнении Лапласа центральными разностями второго порядка:
,
,
Применяя краткую запись 
, получаем
, (1)
, 
или
, (2)
, 
.
Полагая 
, краевые условия можно записать в виде:
(3)
Для нахождения искомого решения требуется решить систему 
линейных алгебраических уравнений. Схема (2)-(3) имеет второй порядок аппроксимации по 
и по 
, является абсолютно устойчивой и сходится. Ей соответствует пятиточечный шаблон — схема крест.
При 
, т. е. одинаковых шагах в горизонтальном и вертикальном направлениях, получаем
, (4)
, .
Разрешив (4) относительно 
, получим
, , . (5)
Это означает, что решение 
аппроксимируется средним значением по четырем соседним узлам. Как правило, для решения системы (5) применяются различные итерационные методы, например, метод простой итерации или метод Зейделя.
Алгоритм разностного метода решения поставленной задачи.
1. Задать сетку , где , , , ;
, — величины шагов по и по ; , , и — целые положительные числа;
— желаемую точность.
Вычислить
Положить 
; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах:
, , .
2. Вычислить 
одним из двух методов:
а) методом простых итераций:
, , ;
б) методом Зейделя:
Шаг 1. Положить 
.
Шаг 2. Вычислить
, 
.
Шаг 3. Если 
, процесс завершить. Иначе положить 
и перейти к шагу 2.
3. Если выполняется условие окончания
,
процесс завершить. Иначе положить 
и перейти к п. 2.
Замечание. Метод Зейделя обеспечивает движение по узлам слева направо, начиная с первого слоя сетки по переменной 
. Использование значений с 
-й итерации, как правило, улучшает сходимость.
Пример. Рассмотрим частный случай поставленной задачи при 
, 
,
Для численной реализации данного алгоритма была выбрана среда разработки Borland Delphi 7, так как данный язык программирования обладает достаточным функционалом для решения рассматриваемой задачи. В среде Delphi 7 имеются обширные библиотеки программ для решения математических задач [3]. При разработке программы для поставленной задачи были использованы дополнительные библиотеки, которые позволили значительно сократить код основной программы. На рисунке 1 представлен интерфейс программы.
Рис. 1. Интерфейс программы
Результат программы для приведенного выше тестового примера представлен на рисунке 2.
Рис. 2. Вывод результата программы
На рисунке 3 представлен результат действия вышеприведенного алгоритма, реализованный в табличном процессоре Excel2010.
Рис. 3. Численная реализация в Excel2010
Авторами была разработана программа, которая позволяет автоматизировать процесс вычисления решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Программа предназначена для освоения студентами разностного метода решения уравнений эллиптического типа и может применяться в учебном процессе.
Литература:
1. Фазылова Л. С., Устинова Л. С., Пак Д. В. Программирование разностного метода решения одной задачи для уравнения гиперболического типа // Молодой ученый: Научный журнал. — 2015. — № 10. — C. 68–71.
2. Киреев В. И. Численные методы в примерах и задачах: учеб. пособие/ В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. — Изд. 2-е, стер. — М.: Высшая школа, 2006. — 480 с.
3. Нил Дж. Рубенкинг. Язык программирования Delphi для «чайников». Введение в Borland Delphi 2006. — М.: Диалектика, 2007. — 336 с.
