В настоящее время появилась возможность решения математических задач без составления компьютерных программ на алгоритмических языках. Причиной этого является разработка специальных математических программ — математических систем. В вузах и научных учреждениях чаще всего применяются математические системы: MATHCAD, MATLAB, Maple, Mathematika. С применением математических систем учебный процесс становится интереснее, студенты понимают содержание занятия быстрее, глубже, а для укрепления преподаваемых понятий и решения задач остаётся больше времени.
В последнее время задачи вычислительной математики [1,2] по преимуществу решают в математической системе MATHCAD [3–6]. Именно в MATHCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.
В статье алгоритмы методов конечно-разностных схем приближённого решения линейного параболического и гиперболического дифференциальных уравнений с краевыми условиями организованы в математической системе MATHCAD.
1. Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD.
Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения
в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу 
в дискретной области 
, где 
- параметр дискретизации и 
, при 
, и 
- дискретный оператор, а переменные 
- дискретные функции, такие, что 
, 
, 
, 
, т. е. 
каркас –таблица значений функций 
на сетке точек 
. В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы 
есть таблица значений функций. В MATHCAD идея решения дискретной задачи очень проста и естественна: 
. Эта идея имеет место даже тогда, когда элементы являются матрицами:
, где 
— матрицы [3–6].
Команды в MATHCAD отличаются от математических формул с лишь следующим: знак (:=) означает определение, знак равенство (=) или стрелка (→) означает вывод вычисленного значения. После знака «записывается текст замечание.
2. Дифференциальные краевые задачи и КРС [1,2].
А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения:
,
,(1)
. (2)
(1), (2) называется краевой задачей для параболического дифференциального уравнения (КЗ для ПДУ). Функция 
, удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: 
, 
, 
.
Явная КРС ,для ПДУ с точностью 
имеет вид:
(3)
Неявная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид:
(4)
К (3) и (4) необходимо присоединить начальные и краевые условия
,(5)
Явная КРС для ПДУ решается с помощью реккурентных формул:
, (6)
Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j сводиться к системе линейных уравнений:
. (7)
Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей и, начиная с первого слоя, решается методом прогонки.
Вводя матрицу 
с коэффициентами 
;
; 
,
и векторы 
неявную схему можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные 
го и 
го слоёв
. (8)
В) Рассмотрим краевую задачу для гиперболического уравнения:
, ,(9)
. (10)
(9), (10) называется краевой задачей для гиперболического дифференциального уравнения (КЗ для ГДУ). Функция , удовлетворяющая ГДУ и краевым условиям называется точным решением: , 
, 
.
Явная КРС ,для ГДУ с точностью имеет вид:
,
Неявная КРС ,для ГДУ с точностью имеет вид:
,
Используя матрицу , неявную схему можно записать в векторно-матричном виде,
, (11)
которая связывает неизвестные 
го и го слоёв.
Явная КРС для ГДУ решается с помощью рекуррентных формул: ,
.
Неявная КРС для ГДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей и, начиная со второго слоя, решается методом прогонки:
,
Для ГДУ в явной и неявной КРС аппроксимацию можно улучшить до 
, если аппроксимацию начальных условий взять в следующем виде:
,
.
3. Организация решения КРС для ПДУ в MathCAD.
Пусть дана краевая задача для параболического уравнения (1),(2) с данными:
,
. (12)
, 
. (13)
A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.
Вводим в окне MathCAD следующие команды:
«область
«сетка
«начальные данные
Given 
«ПДУ, равенство жирное
«краевые условия, равенство жирное
«обращение к Pdesolve
«решения 
,
«выведем таблицу значений приближённого решения
«выведем таблицу значений точного решения
«выведем графики приближённого и точного решений
B) Решение явной КРС для ПДУ в MathCAD.
Записываем в окне MathCAD следующие команды:
«область
«сетка
«начальные данные
«дополнительные условия
«послойное вычисление и вывод 
«вычисление и вывод 
Отметим, что таблицы значений приближённого и точного решений совпадают с соответствующими таблицами из пункта А), полученными внутренней функцией Pdesolve.
C) Решение неявной КРС для ПДУ в MathCAD.
Записываем в окне MathCAD следующие команды:
«область
«сетка
«точное решение и его каркас
«начальные данные
«дополнительные условия
«ввод матрицу СЛАУ
«ввод матрицу СЛАУ
«вычисление
A= «выведем для контроля матрицу А
«вывод каркаса решения
«вывод каркаса решения
Отметим, что таблицы значений приближённого и точного решений совпадают с соответствующими таблицами из пункта А), полученными внутренней функцией Pdesolve.
4. Организация решения КРС для ГДУ в MathCAD.
Рассмотрим краевую задачу для гиперболического уравнения (9),(10) с данными:
, (12)
, 
. (14)
A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.
Для решения ГДУ внутренней функцией записываем следующие команды:
«область
«сетка
«точное решение и его каркас
«данные
Given 
«ГДУ, равенство жирное
«данные,
«обращение к Pdesolve
«Выведем таблицу точного и приближённого решений
В) Решение явной КРС для ГДУ в MathCAD.
Записываем следующие команды (шаги алгоритма):
«область
«сетка
«точное решение и его каркас
«данные
«явная КРС
«Вывод таблицу значений приближённого и точного решений:
«Только при увеличении десятичных разрядов можно увидеть разницу.
С) Решение неявной КРС для ГДУ в MathCAD.
Записываем следующие команды (шаги алгоритма):
«область
«сетка
«точное решение и его каркас
«данные
«дополнительные условия
«задание матрицы неявной КРС
«задание матрицы неявной КРС
«задание матрицы неявной КРС
«задание правой части в КРС
«Организуем вычисления по неявной схеме
«Для контроля выведем значения приближённого решения на 0-ом, и 1-ом слоях
,
«Выведем таблицу значений точного и приближённого решений
«Выведем графики приближённого и точного решений:
Литература:
1. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1981.-456 c.
2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.:ВШ, 2002.-840 с.
3. Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе MATHCAD.СПб, 2005.-464 с.
4. Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MATHCAD.М.:ФМ, 2005.-264 с.
5. Имомов А. Организация численных методов в MATHCAD. Молодой учёный, № 6(65), май 1, 2014 г.-с. 15–19.
6. Ирискулов С. С., Исманова К. Д., Олимов М., Имомов А. Численные методы и алгоритмы. MATHCAD. Учебное пособие. -Наманган, Изд-во «Наманган», 2013.-278с.
