Анализ многих задач механики, физики и техники, математической биологии привели к необходимости исследования интегро-дифференциальных уравнений.
Интегро-дифференциальные уравнения применяются к изучению щелевых антенн, изгибов балок на упругих основаниях, в задачах о взаимодействии волн в электролинейных полях, колебаниях твердого тела, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью, колебаниях валов, а также в ряде других задач механики и теории колебаний, где учитывается эффект последействия, описываемый с помощью соответствующих интегралов.
В данной статье рассматривается вопросы построения периодических решений квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений в критических случаях выше первого порядка.
Решим уравнение (систему)
, 
(1)
где 
-мерный вектор;
- постоянная 
— матрица, обладающая резонансными собственными значениями (равными нулю или целой кратности 
);
-вектор функция, представима полиномом по 
, с коэффициентами 
- периодическими функциями по 
, разложимыми по в полином Фурье;
- малый положительный параметр;
-так называемое ядро релаксации.
Линейная однородная система,
(2)
соответствующая уравнениям (1), обладает при принятых допущениях о собственных значениях матрицы -семейством -периодических решений, т. е.
(3)
где 
— матрица;
— произвольный постоянный вектор.
Предполагаем, что 
удовлетворяет условию существования -периодического решения системы (1) при 
. Тогда при мы получим так называемое порождающееся семейство -периодических решений
(4)
Здесь — произвольный вектор.
Полагаем в (1)
(5)
и получим для 
систему
(6)
где
(7)
Будем искать функцию 
и постоянную
методом итераций, считая, что последовательные приближения 
и 
удовлетворяют система
(8)
(9)
При этом будем искать все 
их -периодических функций, ортогональные по всем - периодическим решениям однородной системы (2).
Рассматриваем сначала систему (8) для первого приближения 
и стараемся удовлетворять, если возможно, условию существования -периодического решения этой системы, т. е. условию, аналогичному 
(10)
где 
-матрица, сопряженная по отношению к матрице
-матрица периодических решений системы, сопряженной к (2)
Это уравнение относительно постоянного вектора 
представляющее собой условие существования периодического решения уравнения (8) обращающееся в нуль при . Если она имеет вещественное решение 
(в случае, когда решение (4) выбирается вещественным), то саму функцию 
находим как частное -периодическое решение системы (8), ортогональное семейству (3).
После этого рассматриваем систему для второго приближения 
. Условие существования периодического решения этой системы
(11)
является уравнением для определения постоянного вектора 
зависящего от параметра 
. Если оно имеет вещественное решение 
, обращающееся в 
при , то 
определяем опять как частное -периодическое решение системы (8) при 
, ортогональное к семейству (3) и т. д.
Определение. Для системы (1) имеет место критический случай 
го порядка, если система (8) для го приближения является первой, для которой условие существования периодического решения, представляющее уравнение относительно постоянного вектора 
, или не имеет вещественного решения или имеет решение 
являющееся простым при условии учета соответствующих членов низшего порядка относительно 
в выражении для
Естественно, что проверка этих условий осуществляется последовательно: сначала при 
, затем при и т. д. Тогда непосредственно и выбираются члены низшего порядка, которые следует учитывать при установлении, является ли решение уравнения для вектора простым.
При имеет для уравнение (10), совпадающее с уравнением порождающих амплитуд 
Пусть уравнение (10) имеет решение 
не являющееся простым, т. е. пусть
(12)
Тогда обратная матрица 
не существует. Это означает, что для системы (8) 
мы не можем гарантировать выбор постоянных векторов 
, обращающихся в 
при обеспечивающих существование -периодических решений 
обращающихся в нуль вместе с 
. Действительно, рассмотрим систему (6), представим функцию 
в виде
(13)
где
(14)
Определив решения уравнения
(15)
найдем из системы (8) первое приближение 
и перейдем к системе для второго приближения, т. е. к системе
(16)
Уравнение (11), представляющее условие существования периодического решения этой системы, запишется в виде
(17)
При (тогда и 
) это уравнение преобразуется в уравнение (15) 
и имеет решение 
. Однако учитывая условие (12) имеем
и мы не можем гарантировать при произвольных функциях 
порядка и выше существование решения 
полного уравнения, обращающегося в при .
Возникает вопрос об условиях, гарантирующих существование всех векторов 
обращающихся в при и обеспечивающих существование -периодических приближений 
Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию 
. Такие члены можно получить, если вектор 
не равен тождественно нулю (так как 
). Тогда в левой части уравнения (17) при отбрасывании 
младшие члены относительно имеют первый порядок, так как функция 
имеет 2- ой порядок относительно 
Обозначим
(18)
(19)
где 
и 
не зависят от
Тогда уравнение (17) перепишется в виде
(20)
где имеет порядок не ниже 
Определение. Простым решением 
уравнения (17) с учетом членов низшего (или первого) порядка относительно является такое, которое отличается по норме от решения уравнения 
на величину порядка 
0<
<1 и для которого функциональный определитель
(21)
будучи отличным от нуля, имеет тот же прядок 
Справедлива следующая теорема, показывающая смысл такого понятия простого решения.
Теорема Пусть функция 
дважды дифференцируема по 
и пусть вместе с уравнением (20) рассматривается другое решение
(22)
левая часть которого отличается от 
членами порядка 
и выше, причем 
дифференцируемая функция по. По все функции непрерывны.
Тогда каждому простому решению 
уравнения (20) соответствует единственное решение 
уравнения (22), обращающееся в при 
и отличающееся от решения уравнения (20) членами порядка выше Главные части решения и 
порядка 
совпадают.
Доказательство. Положим в (22) 
и составим уравнение относительно 
. Разлагая функцию в ряд Тейлора и учитывая, что 
получим уравнение
(23)
где функция 
имеет порядок относительно не ниже второго, так как функция дважды дифференцируемая по 
. Если обозначит через 
матрицу 
то по условию леммы определитель 
имеет порядок 
, т. е.
где 
конечное число.
Следовательно, обратная матрица B-1 существует и
где 
конечное число, в частности, 
.
Перепишем далее (23) в виде
(25)
и положим 
. Учтем, что имеет порядок не ниже второго относительно , так что
где функции 
остается непрерывной по 
и при имеет порядок не ниже второго относительно 
.
Следовательно, уравнение для запишется в виде
(26)
Если обозначить 
то ввиду (24) норма 
матрицы 
ограничена. Поскольку 
и 
то уравнение (26) запишется также в общем виде
(27)
Здесь - линейный, ограниченный оператор;
- непрерывная функция 
дифференцируемая по и обращающаяся в нуль вместе с производной 
при 
Из [1, 2] следует, что это уравнение имеет в некоторой области 
изменения 
единственное решение 
обращается в нуль вместе с , т. е. вместе с 
Таким образом, уравнение (2) имеет решение 
где 
.Это решение удовлетворяет требованиям теоремы.
Литература:
- Гребенников Е. А.б Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М., Наука, 1979. — 431 с.
- Лика Д, К., Рябов Ю. А. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев: Штиница, 1974- 291 с.
- Бердиёров А. Ш. Построение периодического решения интегро-дифференциального уравнения типа Вольтера в критическом случае. Деп. ВИНИТИ 03.05.1990 г. № 2380-В90. -10с
