В работе [1] рассматривализадачи :
Доказали однозначную разрешимость.В данной работе рассматриваем следующую задачу:
где
и находятся достаточные условия однозначной разрешимости.
- Задача однозначной разрешимости (1),(2)
Теорема 1.
Пустьфункции
где L 1 ,L 2 = const ≥ 0,
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.009.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.010.png)
где
Если сушествует
тогда задача (1), (2) имеет единственное решение U(x,t) в области D вместо непрерывной U tt
Доказательство . Легко можно доказать, что задача (1), (2) эквивалентна интегральному уравнению:
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.021.png)
Правую часть этого уравнения обозначим через оператор Ф.
Очевидно, что
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.026.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.027.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.028.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.043.png)
Используя норму
получим:
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.042.png)
где
Доказательство теоремы следует из принципа сжимающих отображений.
- Непрерывная зависимость решения от параметров.
В этом пункте рассматривается следующая задача:
С условием (2), где
Теорема 2.
Пусть, функции
где
Если существует
Доказательство . При фиксированных параметрах однозначной разрешимости задача (5), (2) доказана в теореме 1. Для доказательства теоремы 2 достаточно доказать непрерывную зависимость решения от параметров. Задача (5), (2) эквивалентна следующему интегральному уравнению:
Обозначим через
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.070.png)
Используя условие теоремы 2, из (7) имеем:
![](https://moluch.ru/blmcbn/108239/108239.094.png)
Отсюда следует утверждение теоремы 2.
Литература:
- Клатвин А. С., Клатвин В. А. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение Барвашина с частной производной второго порядка //Международная конференция ,,Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-VI” Ростов-на-Дону, 24–29 апреля 2016г.