Рассмотрим уравнение
(1)
где 
λ1
λ2
–действительные постоянные; 
—прямоугольник, ограниченный отрезками 
прямых 
соответственно; 
- треугольник, ограниченный характеристиками
уравнения (1) при 
.
Введем обозначения:
Здесь 
и 
— известные операторы, введенные в [1].
Задача 
Требуется определить функцию и 
, обладающую следующими свойствами:
1) 
регулярное в области и обобщенное класса 
[2] в области D2 решение уравнения (1);
2) удовлетворяет граничным условиям
(2)
(3R)
3) на отрезке 
выполняются условия склеивания
(4R)
(5R)
Где 
— заданные функции, причем 
(y) удовлетворяет условию Гельдера с показателем 
;
, 
Здесь и далее 
, 1. Без ограничения общности положим 
и 
.
Отметим, что краевые задачи с нелокальными условиями склеивания для параболо-гиперболических уравнений известны в физике и изучены в работе [3].
Функциональное соотношение между 
и 
, принесенное на отрезок из параболической части смешанной области D имеет вид [4]
а из гиперболической части в задаче
-
(7)
где k0
Ф1
1
Ф2
— известные функции.
Исключив 
(у) из (6) и (7), с учетом условий склеивания (4о) и (5о) получим У
(8)
где
Анализ уравнения (8) показывает, что ядро 
является квадратично суммируемым в [0,1] x [0,1], 
Следовательно, существует единственное непрерывное решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (8) [5].
При исследовании задачи 
учтем, что в определении обобщенного класса решений уравнения (1) в области 
необходимо взять
где
— непрерывная и интегрируемая в 
функция. Приняв во внимание указанное выше, соотношение между 
и 
, из гиперболической части области D задачи запишем в виде
(9)
где
Аналогично задаче 
решение задачи \ сведем к доказательству существования решения интегрального уравнения Фредгольма с квадратично интегрируемым ядром и непрерывной правой частью
(10)
где
Разрешимость последнего следует из [4] и теоремы.
Теорема единственности. Если выполнены условия
то задача не может иметь более одного решения.
Литература:
- Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Дифференциальные уравнения и их приложения к механике. Ташкент: Фан, 1986. С. 3–14.
- Эргашев Т. Г.// Докл. АН УзССР. 1989. № 12. С. 3- 5.
- Капустин Н. Ю.//Докл. АН СССР. 1989. Т. 305. № 1. С. 31–33.
- Бабич В. М., Капилевич М. Б. и др. Линейные уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 368 с.
- Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959, 224, с.
