Интегрирование высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником интегрального типа



В 1967 году американские учёные К.С. Гарднер, Дж.М.Грин, М.Крускал и Р.Миура [1] открыли замечательное свойство уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Они предложили нелинейную замену переменных в этом уравнении, после которой оно становится линейным и явно решается. В описании этой замены участвует формализм прямой и обратной задач рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля, т.е. в нем существенно используется решение задачи о восстановлении по­тенциала оператора Штурма-Лиувилля на всей оси, по данным рассеяния. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния. В работе [2] П.Лакс показал, универсальность метода обратной задачи рассеяния и обобщил уравнение КдФ, введя понятие высшего (общего) уравнения КдФ. Затем МОЗР был успешно применен и для многих других нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений, таких как: нелинейное уравнение Шредингера, модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение sin-Гордон.

Рассмотрим линейную систему уравнений

(1)

на всей оси (), с «быстроубывающим» потенциалом :

.(2)

Здесь , является комплексным сопряжением к .

Прямая и обратная задача рассеяния для оператора изучены в работах М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана [3], В.Е.Захарова, А.Б.Шабата [4], И.С.Фролова [5], Л.П.Нижника, Фам Лой Ву [6], Л.А.Тахтаджяна, Л.Д.Фаддеева [7], А.Б.Хасанова [8] и др.

В данной работе рассматривается система уравнений

, (3)

,(4)

, (5)

при начальном условии

,(6)

где определяется из следующих реккурентных соотношений

, , .

Здесь начальная функция обладает следующими свойствами:

1) (7)

2) Оператор не имеет спектральных особенностей и в верхней полуплоскости комплексной плоскости имеет ровно N собственных значений с кратностями .

В рассматриваемой задаче вектор-функции и решения системы уравнений и соответственно, которые обладают следующими асимптотиками при

, ,(8)

где заданные непрерывные функции, удовлетворяющие условию:

при .(9)

Предполагается, что при всех

(10)

Пусть функция обладает достаточной гладкостью, т.е. и достаточно быстро стремится к своим пределам при , так что

.(11)

Основная цель данного работы – получить эволюции данных рассеяния несамосопряженного оператора с потенциалом являющимся решением уравнения (3).

Допустим, что решение задачи (3)-(11) существует. Рассмотрим систему уравнений

(12)

с потенциалом . Пусть вектор-функции и решения уравнений и соответственно с асимптотиками (8) при . С помощью решений Йоста и уравнений (12), определим вектор-функции

, (13)

.(14)

Здесь и ,

.

По определению, вектор-функции и аналитические функции от параметра в верхней полуплоскости . При любых действительных вектор-функции и имеют особенности в точке . Чтобы определить предельные значение вектор-функций и при , используем формулы Сохоцкого. В силу (13), (14) имеем

,(15)

.(16)

Здесь v.p. означает, что интеграл понимается в смысле главного значения.

Согласно (8) имеем

,

,

поэтому при :

,(17)

.(18)

Нетрудно заметить, что справедливы равенства

.

Следовательно, и линейно зависимы с и соответственно, т.е. существуют такие и , что имеют место соотношения

,(19)

. (20)

По определению матрицы , из равенств (10) и асимптотик (8), (17) и (18), получим

,

где .

Введем следующее обозначение

.

На основании равенств (19), (20) вектор можно переписать в виде

.(21)

С другой стороны, из соотношений (15) и (16) имеем

.

Используя равенство получим

. (22)

Сравнивая равенства (21) и (22) имеем

(23)

,

следовательно

.

Заметим, что дифференциальное уравнение (23) справедливо при . Легко заметить, что при справедливо равенство

.(24)

Решая дифференциальное уравнение (24) получим

.

Отсюда следует, что нули функции , т.е. собственные значения оператора не зависят от .

Перейдем к нахождению эволюции нормировочной цепочки соответствующей кратным собственным значениям

Заметим, что при справедливы равенства

, (25)

.(26)

Теперь определим функцию в виде

.

В силу равенств (25) и (26) имеем

. (27)

Равенство (27) можно переписать в виде

,(28)

где ,

Следовательно, согласно

.

С другой стороны, на основании равенств (13) и (14) имеем

.(29)

Сравнивая равенства (28) и (29), получим

,

Таким образом доказана следующая

Теорема. Если функции являются решением задачи (3)-(11), то данные рассеяния несамосопряженного оператора с потенциалом меняются по следующим образом

,

,

Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (3)-(11).

Литература:

1. Gardner C.S., Сreen I.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. – USA, 1967. – v.19 – p. 1095-1097.
2. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math. – USA, 1968. – v.21. – p. 467-490.
3. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР. – Москва, 1966. – Т.167, № 5. – C. 967-970.
4. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. – Москва, 1971. – Т.61. № 1. – C.118-134.
5. Фролов И.С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // ДАН СССР. – Москва, 1972. – Т.207, № 1. – С.44-47.
6. Нижник Л.П., Фам Лой Ву. Обратная задача рассеяния на полуоси с несамосопряженной потенциальной матрицей // Укр. матем. журнал. – Киев, 1974. – Т.26, № 4. – С.469-486.
7. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов.–/ М.:, Наука. 1986. – 528 с.
8. Хасанов А.Б. Об обратной задаче теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка // ДАН СССР – Москва, 1984. – Т.277, № 3. – C. 559-562.
9. Хасанов А.Б., Рейимберганов A.A. Конечно плотные решения высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником // Уфимский матем. журнал. – Уфа 2009, том 1. № 4. – С. 133-143.