Решение особого интегрального уравнения Вольтерры второго рода



Изучение теплофизических процессов, происходящих в электрических контактах, является весьма актуальным в автоматике. При математическом моделировании теплофизических свойств таких процессов возникает необходимость решения краевых задач теплопроводности, особенность которых состоит в наличии подвижной границы и вырождении области решения в начальный момент времени [1–3]. С помощью тепловых потенциалов решение таких задач сводится к решению особых интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Особенность такого рода уравнений заключается в том, что норма интегрального оператора в классе существенно ограниченных функций равна единице, то есть к ним не применим метод последовательных приближений.

Рассмотрим интегральное уравнение

где — действительный параметр; -заданная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

Подобного рода интегральные уравнения были предметом исследования в работах [4–7].

Решение уравнения (1) будем искать в классе функций

Легко видеть, что

Ввиду этого уравнение (1) преобразуется к виду

где

Рассмотрим однородное уравнение

После применения преобразования Лапласа будем иметь

Решение этого функционального уравнения ищем в виде

где

— произвольная постоянная, а -неизвестная пока постоянная. Подставляя (5) в (4), имеем

Выберем х так, чтобы выполнилось условие

Корнями уравнения (6) являются

Полное решение уравнения (4) будем искать в виде

Подставляя (8) в (4), получим

Пусть

Тогда

т. е. — произвольная периодическая функция с периодом, равным 2. Так как , определенная выражением (5), аналитическая функция, то — также аналитическая. Разлагая функцию , имеем

где — произвольные коэффициенты Фурье. Из (8)-(10) имеем

или

Для того, чтобы было изображением, необходимо, чтобы . Следовательно, в (7) . В противном случае уравнения (4) и (3) имеют только тривиальное решение. Из (11) следует

где — произвольные постоянные. Для того, чтобы (12) было решением искомого класса, необходимо и достаточно

или

Пусть

где — целая часть числа . Легко видеть, что если

, то а если то . Таким образом, из (12) получим

Если , то

Если , то неравенство (13) не имеет места и, следовательно, не существует собственной функции, удовлетворяющей (3). Переходя к действительным переменным, можно убедиться, что справедлива

Теорема. Если , то

где т. е. для каждого уравнение (3) имеет 2 N+ 1 собственных функций.

Если то уравнение (3) не имеет собственных функций, а если , то уравнение (3) имеет решение, которое выражается формулой

где

т. е. для каждого уравнение (3) имеет собственных функций.

Рассмотрим неоднородные уравнение Для нахождения какого-нибудь частного решения уравнения (3) построим резольвенту ядра

Очевидно, что

Тогда

Запишем решение уравнения (2) формально в виде

Если

, то, применяя интегральный признак, имеем

Таким образом, интеграл в (14) сходится при

и, следовательно, к уравнению (2) можем применить метод последовательных приближений.

Если , то

где

т. е. имеет большую особенность в окрестности Поэтому интеграл в (14) может расходиться, даже если удовлетворяет неравенству (15). Это значит, если , то к уравнению (2) нельзя применить метод последовательных приближений.

Предлагается другой метод. Произведем следующую замену:

Тогда уравнение (2) примет вид

Предположим, что g(y) определена в и ее двухстороннее преобразование Лапласа аналитично в полосе . Решение будем искать в классе функций, к которым применимо двухстороннее преобразование Лапласа.

Пусть

тогда

при

Отсюда

Найдем оригинал по формуле обращения:

Если корни уравнения

лежат на мнимой оси, т. е. , то интегрирование будем производить вдоль контура, обходя эти точки слева. При этом интеграл следует понимать в смысле главного значения по Коши. Вычислим интеграл (17). Так как подынтегральное выражение в нем было определено только при то продолжим его аналитически на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси.

Из (18) очевидно, что

Значения R(y;λ) для

обозначим через а для y>0-через

Пусть . Найдем вычет подынтегральной функции по правой разрезанной полуплоскости.

где После нахождения сумм и интегралов получим

Пусть теперь . Найдем вычет подынтегрального выражения по левой полуплоскости. Будем иметь

где если и если После упрощений последняя сумма преобразуется к виду:

Окончательно частное решение уравнения (16) получается по формуле свертки

Для того, чтобы такое представление было возможным, доопределим функцию для значений произвольным образом.

Если для , то (21) примет вид

или

Чтобы определить класс функций , для которых интегралы в (22) сходятся, необходимо дать оценки и . Из (19) и (20) видно, что

Итак, если

то интегралы в формуле (22) сходятся и функция удовлитворяет уравнению (16). Если

то , определенная по формуле

удовлетворяет уравнению (2).

Из п. I мы видим, что однородное уравнение (2) может иметь собственные функции для любого . Добавив эти функции к частному решению (23), получим общее решение уравнения (2).

Литература:

1. Ким Е. И., Омельченко В. Т., Харин С. Н. Решение уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами н его приложение к вопросу электрических контактов. — ИФЖ, 1965, № 5.
2. Харин С. Н. Тепловые процессы в электрических контактах и связанные с ними сингулярные интегральные уравнения. — Автореф. на соиск. ученой степени канд. наук. Алма-Ата, 1970.
3. Ramazanov M. I., Gulmanov N. K. Solution of a two-dimensional boundary value problem of heat conduction in a degenerating domain // Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science. — 2021. — V.111, no.3. — P. 65–78.
4. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени — 1. Душанбе, «Дониш», 1966.
5. Бильман Б. М. Об интегральных уравнениях с переменными пределами интегрирования, ядра которых имеют особенность однородной функции степени-1.- В кн: дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе, «Дониш»,1969.
6. Омаров Т. Е., Отелбаев М. О. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений типа Вольтерра. -В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения. Алма-Ата, «Наука» КазССР, 1975.
7. Рамазанов М. И., Гульманов Н. К. О сингулярном интегральном уравнении Вольтерра краевой задачи теплопроводности в вырождающейся области // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2021. — Т.31. Вып. 2. — С.241–252.