Анализ методов вычисления коэффициентов приближения параболическими сплайнами

Построение полиномиальных интерполяционных сплайнов S_m(x) степени m ³ 2 связано с решением СЛАУ определенного вида, причем важную роль играют дополнительные условия, возникающие на концах интервалов и называемые поэтому краевыми или граничными [1,3]. Без их учета система уравнений получается не полностью определенной, так как тогда число уравнений, равное n-1, получается меньшим, чем число неизвестных, которое равно n+1.

На практике при интерполяции сплайнами обычно задаются следующие варианты граничных условий [3,2,8]:

1)                 Если в граничных точках известны значения первой производной f’(a) и f’(b), то естественно положить S’₀ = f’(a) и S’_n = f’(b). Добавление этих условий приводит к системе, которая может быть решена одним из эффективных методов, например методом прогонки [2, 7, 8].

2)                 Если на концах интервала известны значения второй производной f’’(a) и f’’(b), то их можно принять в качестве граничных значений на значения второй производной сплайна S’’_m(a) и S’’_m(b) в этих же точках.

3)                 Если задать граничные условия f’’(a) = f’’(b) = 0, то получается система алгебраических уравнений, соответствующих так называемому естественному сплайну.

4)                 Если нет никакой дополнительной информации о значениях производных от функции на концах отрезка, то используется так называемое условие «отсутствия узла». Выбор наклонов S’_i производится таким образом, чтобы сплайн на втором интервале являлся продолжением сплайна, строящегося на первом интервале, а сплайн на интервале с номером n соответственно стал продолжением сплайна, заданного на интервале с номером n-1. Для этого достаточно потребовать совпадения в узлах x₁ и x_n-1 значений третьих производных:

S⁽³⁾₁(x₁) = S⁽³⁾₂(x₁), S⁽³⁾_n-1(x_n-1) = S⁽³⁾_n(x_n-1).                                              (1)

Важную роль в алгоритмах вычисления параметров аппроксимации функций сплайнами играют свойства матриц коэффициентов систем соответствующих алгебраических уравнений. В частности, фактором, определяющим существование и устойчивость решения, является свойство диагонального доминирования (преобладания).

Так как функции В_m,i(X), линейно независимы и на отрезке [a, b] являются сплайнами степени m с узлами в точках сетки, то любой сплайн S_m(X) из S_m,i() можно единственным образом представить в виде

                                                     (2)

Дополним сетку точками :

Например, можно положить  i=-1, -2, -3,  i=n+1, n+2, n+3.Пусть

, i =-2, -1, 0, 1, …, n+3.

Качестве в общем случае можно выбрать точки, удовлетворяющие неравенствам

, i =-2, -1, 0, 1, …, n+3.

Мы дадим здесь представление интерполяционных параболических сплайнов через В-сплайны, определяемые равенством при m=3

,

Как указывалось, любой сплайн , определенной на [а,в] и имеющий узлы единственным образом представим в виде

                                                                                   (3)

где

                                                                     (4)

в отличие от (1), мы воспользовались представлением через М_i(X), а не через В_2,i(X) в силу при , близком к , функция В_2,i(X) принимает в некоторых точках большие значения, порядка , а в дальнейшем расстояние между узлами будет уменьшаться. Как будет видно из дальнейшего, коэффициенты с_i в (5) будут близки к значениям интерполируемой функции в соответствующих точках.

Удобства представления (5) заключается в том, что для запоминания  можно хранить лишь множества  и

Исходя из условий интерполяции и краевых условий, выведем системы уравнений для определения коэффициентов с_i в (5). Учитывая свойства (6) имеем

, i = 0, 1, …, n                                                            (5)

Краевые условия добавляют к (7) следующие уравнения:

А) периодический случай

 k=1,2;                                                            (6)

Б) краевые условия (5):

 k=0,n;                                   (7)

B) краевые условия (6):

 k=0,n;                              (8)

Г) краевые условия (7):

                                            (9)

Уравнения (7) вместе с двумя уравнениями характеризующими краевые условия, дают систему  уравнений с  неизвестными. Определитель этой системы отличен от нуля, так как в силу единственности представления (5) система имеет единственное решение.

Достоинством интерполяционных сплайнов является их высокая точность, а недостаток — необходимость решения систем уравнений, что связано с большим временными затратами. Для систем, функционирующих в реальном масштабе времени актуальны те методы, которые позволяют избегать решение систем уравнений.

Значительно упрощаются вычислительные проблемы при обращении к методам локальной сплайн — аппроксимации, в которых значения приближающей функции на каждом отрезке зависят только от значений аппроксимируемой функции из некоторой окрестности этого отрезка. Необходимый объем вычислений не зависит от числа узлов сетки, а определяется лишь степенью сплайна [4,12].

Для параболических базисных сплайнов приведем локальные формулы в готовом виде:

1.     Трехточечная формула

2.     Пятиточечная формула

Эти формулы сохраняют свойства гладкости приближений, а значения параметров не зависят от отсчетов в точках, достаточно удаленных от текущей точки с индексом i. Они являются симметричными, но работают только внутренних точках области [a,b].

 

Литература:

 

1.                  Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. -М.: Связь, 1980. — 248 с.

2.                  Верлань А. Ф., Абдусаттаров Б. Б., Акбаров Ш. А. Алгоритмические и структурные методы повышения быстродействия специализированных устройств при реализации интегральных моделей нелинейных динамических объектов // Электронное моделирование. — 1987. — № 6. — С. 42–44.

3.                  Зайнидинов Х. Н., Рахимов Б. С. Хамдамов У. Р. Программный комплекс для обработки одномерных и многомерных геофизических сигналов в кусочно — полиномиальных базисах.// Совместный выпуск по материалам респ. науч. конф. «Современное состояние и пути развития информационных технологий» 11–13 октября 2006, г.Ташкент, с.205–207

4.                  Касымов С. С., Зайнидинов Х. Н., Рахимов Б. С. Аппаратно — ориентированный алгоритм вычисления коэффициентов в кусочно — квадратических базисах // ДАН РУЗ. 2003. № 3, -С. 18–21.

5.                  Касымов С. С., Зайнидинов Х. Н., Рахимов Б. С. Применение базисных сплайнов для предварительной обработки экспериментальных данных // Тезисы докл. XVI — Международная научная конф., Санкт — Петербург, 2003.

6.                  Мусаев М. М., Ходжаев Л. К. Спектральный метод полиномиальной аппроксимации для цифровой обработки сигналов.// Электронное моделирование. — 1987. -N6, — С. 30–33.

7.                  Ракощиц В. С., Козлов А. В., Можаев И. А. и др. Специализированные микропроцессоры, реализующие быстрые преобразования // Цифровая обработка сигналов: сб. статьей. — М.: Наука, 1981. — С. 206–217.

8.                  Рахимов Б. С. Применение кусочно — постоянных, кусочно — линейных и кусочно — квадратических базисных функций Уолша для спектральной обработки сигналов. // Тезисы докл. сб. науч. статьей., Ташкент, -С 319–320.

9.                  Рахимов Б. С. Проектирование спецпроцессов для обработки сигналов на основе матричной диаграммы занятности.// Научно — технический журнал Ферганского политехнического института. 2003, № 4, — С 31–34.

10.              Рахимов Б. С. Кусочно — полиномиальные методы на основе функций Уолша.// Актуальные вопросы в области технических и социально-экономических наук. Межвузовский сб. научн. трудов. Ташкент 2006, вып.1., — С. 42–43.

11.              Смолов В. Б., Свиньин С. Ф., Зенцов В. А. Аппроксимация системами кусочно-полиномиальных функций в задачах цифровой обработки сигналов. //Изв.АН СССР, Техническая кибернетика, 1982. — N2. -С. 202–209.

12.              Kasymov S. S., Zaynidinov H. N., Rahimov B. S. Methods of the organization of parallel computing structures and processes on the basics of basic splines // Proceedings of the 1^st Seminar «The opportunities for Application of Information Technologies for Development of Education and Economic Growth». Tashkent, july 3–5, 2003., p. 97–98.