О свойствах положительно определенных матриц | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (149) апрель 2017 г.

Дата публикации: 18.04.2017

Статья просмотрена: 273 раза

Библиографическое описание:

Пармонов Х. Ф. О свойствах положительно определенных матриц // Молодой ученый. — 2017. — №15. — С. 109-110. — URL https://moluch.ru/archive/149/41870/ (дата обращения: 15.10.2018).



Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами.

Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным. Если выполняется условие при всех ненулевых , то матрица называется строго положительно определенным.

Если матрица является положительной, то говорят, что .

Если при всех выполняется равенство , то матрица называется эрмитовой или самосопряженной.

Приведем некоторые факты о положительно определенных матриц.

Предложение 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения неотрицательны. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все собственные значения положительны.

Предложение 2. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее главные миноры неотрицательные. Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда она эрмитова и ее все главные миноры положительные.

Предложение 3. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует матрица такая, что . Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица не сингулярная.

Предложение 4. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существует положительная матрица такая, что . Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда матрица строго положительна.

Заметим, что в Предложение 4, матрица является единственной, и она называется квадратным корнем матрицы и обозначается через .

Пусть евклидово пространство, т. е. линейное пространство со скалярным произведением.

Теорема 1. Матрица является положительной тогда и только тогда, когда существуют элементы такие, что,

.

Матрица является строго положительной тогда и только тогда, когда элементы , линейно независимы.

Рассмотрим пример на применении теоремы 1.

Пример 1. Пусть фиксированные вещественные положительные числа. Определим матрицу размера с элементами

.

Такая матрица называется матрицей Коши. Тогда имеет место соотношение

.

Если , , то и при всех имеет место равенство , где для элементов справедливо равенство

.

В силу теоремы 1 матрица является положительной.

Если и положительные эрмитовы матрицы, то также положительная эрмитова матрица. Произведение матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда и коммутативные матрицы.

Матрица называется симметрическим произведением матриц и . Если матрицы и эрмитовы, то также эрмитова. Вообще говоря, из положительности матриц и не всегда вытекает положительность матрицы .

Пример 2. Для любых определим эрмитовы матрицы

, .

Видно, что если , то матрица является положительно определенной. Для любого элемента имеет место равенство

.

Через обозначим аргумент комплексного числа . Тогда имеет место равенство . Поэтому квадратичная форма записывается в виде . Таким образом, при матрица является положительно определенной. По определению имеет место равенство

,

следовательно, для любого элемента имеет место равенство

.

При этом, если близко к нулю, а близко к 1, то матрица не является положительно. Например, для элемента имеет место равенство . Если положить и , то .

Пусть и эрмитовы матрицы и матрица строго положительна. Если симметрическое произведение является положительным (строго положительным), то матрица также является положительным (строго положительным).

Литература:

  1. R. Bhatia. Matrix analysis. Springer-Verlag, New York, 1997.
  2. R. Bhatia. Positive definite matrices. In: Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, 1997.
Основные термины (генерируются автоматически): матрица, место, равенство, элемент, Предложение.


Похожие статьи

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

В данной статье рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица (1), где элементы , определяются по формулам.

Теорема 3. Если , то имеет место равенство , причём .

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

, где матричные элементы , определяются по формулам.

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и

Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство , где числа и определяются следующим образом

О собственных значениях произведений операторов

Пусть – след матрицы , а детерминант матрицы . Тогда имеют место следующие соотношение

Под следом матрицы понимают сумму диагональных элементов этой матрицы

Доказательство 1. Достаточно показать равенство.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

По определению система - жёсткий фрейм в . Но тогда, по предложению 1, справедливо равенство. Отсюда. то есть .

Всего 21 элемент и комбинаций . Полный перебор приводит к выводу, что сигнатурная матрица, удовлетворяющая равенству не существует, и...

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Седловая точка — пара чистых стратегий ( , при которых достигается равенство [9].

У игрока В элементы первого столбца меньше элементов третьего столбца, следовательно, стратегия доминирует над стратегией ,тогда, исключаем 3-й столбец матрицы.

Лемма 1. Для числового образа матрицы имеет место равенство

размера , где — произвольные вещественные числа, а — произвольные комплексные числа. При этих предположениях матрица является линейным ограниченным и симметричным оператором в.

Лемма 2. Если , то имеет место равенство: . Доказательство.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или

. В настоящей работе рассмотрим случай, когда операторы в формуле (1), определяются равенствами

Так как для любого имеет место соотношение.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Ключевые слова: числовой образ, выпуклые множества, матрица, линейный оператор

Тогда для числового образа оператора , имеет место равенство.

3. Вычислить числовой образ оператора. Возьмем произвольный элемент координаты которого удовлетворяют условию .

Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем...

Сначала отметим, что для спектра оператора имеет место равенство. . При каждом фиксированном введем блочно-операторную матрицу размером 2 2, действующую в ℋ как.

где матричные элементы определяются равенствами

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

В данной статье рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица (1), где элементы , определяются по формулам.

Теорема 3. Если , то имеет место равенство , причём .

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

, где матричные элементы , определяются по формулам.

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и

Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство , где числа и определяются следующим образом

О собственных значениях произведений операторов

Пусть – след матрицы , а детерминант матрицы . Тогда имеют место следующие соотношение

Под следом матрицы понимают сумму диагональных элементов этой матрицы

Доказательство 1. Достаточно показать равенство.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

По определению система - жёсткий фрейм в . Но тогда, по предложению 1, справедливо равенство. Отсюда. то есть .

Всего 21 элемент и комбинаций . Полный перебор приводит к выводу, что сигнатурная матрица, удовлетворяющая равенству не существует, и...

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Седловая точка — пара чистых стратегий ( , при которых достигается равенство [9].

У игрока В элементы первого столбца меньше элементов третьего столбца, следовательно, стратегия доминирует над стратегией ,тогда, исключаем 3-й столбец матрицы.

Лемма 1. Для числового образа матрицы имеет место равенство

размера , где — произвольные вещественные числа, а — произвольные комплексные числа. При этих предположениях матрица является линейным ограниченным и симметричным оператором в.

Лемма 2. Если , то имеет место равенство: . Доказательство.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или

. В настоящей работе рассмотрим случай, когда операторы в формуле (1), определяются равенствами

Так как для любого имеет место соотношение.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Ключевые слова: числовой образ, выпуклые множества, матрица, линейный оператор

Тогда для числового образа оператора , имеет место равенство.

3. Вычислить числовой образ оператора. Возьмем произвольный элемент координаты которого удовлетворяют условию .

Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем...

Сначала отметим, что для спектра оператора имеет место равенство. . При каждом фиксированном введем блочно-операторную матрицу размером 2 2, действующую в ℋ как.

где матричные элементы определяются равенствами

Задать вопрос