Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем с одним фотоном | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (197) март 2018 г.

Дата публикации: 15.03.2018

Статья просмотрена: 2 раза

Библиографическое описание:

Мустафоева З. Э. Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем с одним фотоном // Молодой ученый. — 2018. — №11. — С. 7-9. — URL https://moluch.ru/archive/197/47051/ (дата обращения: 23.02.2019).



В хорошо известной модели светового излучения (так называемой модели “спин-бозон”, см. [1–3]) предполагается, что атом, который может находиться в двух состояниях — основном с энергией — и возбужденном с энергией , испускает и поглощает фотоны, переходя из одного состояния в другое. Оператор энергии такой системы обозначим через .

Задача о полном спектральном описании оператора представляется довольно трудной. В связи с этим будет естественно рассмотреть упрощенные (“урезанные”) модели, отличающиеся от модели тем, что возможное число фотонов в них ограничено и не превосходит . В настоящей работе рассматриваем случай . Гильбертовым пространством состояний такой модели служит пространство ℋ:=, где — двумерное комплексное пространство и гильбертово пространство квадратично — интегрируемых функций, определенных на -мерном торе со значениями в .

Рассмотрим оператор задающийся как блочно-операторная матрица

c матричными элементами

, ,

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирований, , сопряженный оператор к , энергия фотона с импульсом , вещественная непрерывная функция на и — “параметр взаимодействия”. При этом есть непрерывная функция на и

.

В таких предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным оператором в ℋ.

Можно показать, что

В непрерывном случае существенный спектр соответствующей модели состоит из полуоси , а в данном случае видно, что существенный спектр оператора есть объединение двух отрезков конечной длины, причем они не пересекаются при .

Определим регулярную в функцию

.

Установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает, что

Теперь опишем резольвенты оператора . Сначала отметим, что для спектра оператора имеет место равенство

.

При каждом фиксированном введем блочно-операторную матрицу размером 22, действующую в ℋ как

, (1)

где матричные элементы определяются равенствами:

,

.

Здесь .

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. При каждом фиксированном резольвента оператора действует по формуле (1).

При доказательстве теоремы 1 используются элементы функционального анализа. Обычно с помощью детального исследования резольвенты доказывается существования соответствующего обратного волнового оператора.

Автор приносит благодарность к. ф.-м.н., доц. Т. Х. Расулову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Литература:

  1. M. Huebner, H. Spohn. Spectral properties of spin-boson Hamiltonian. Annales de l`Institut Henri Poincare, 62:3 (1995), 289–323.
  2. R. A. Minlos, H. Spohn. The three-body problem in radioactive decay: the case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations-Series 2, 177 (1996), 159–193.
  3. H. Spohn. Ground states of the spin-boson Hamiltonian. Communications in Mathematical Physics, 123 (1989), 277–304.
Основные термины (генерируются автоматически): блочно-операторная матрица, резольвента оператора, собственное значение оператора.


Похожие статьи

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра.

Из определения оператора видно, что резольвента блочно-операторной матрицы опять является блочно-операторная матрица.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора . Пусть теперь .

Теорема 2. При каждом фиксированном резольвента оператора определяется следующим образом

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Теорема 2. При каждом фиксированном резольвента оператора определяется следующим образом

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

оператор, собственное значение, собственное значение оператора, оператор уничтожения, существенный спектр, гильбертово пространство, блочно-операторная матрица, вещественное число...

О достаточном условии конечности числа собственных значений...

Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, молекулярно-резонансной модель, блочно-операторная матрица, операторы рождения и

Заметим, что характер спектра, структура резольвенты, вид собственных векторов дискретного и непрерывного спектра...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

блочно-операторная матрица, дополнение, оператор, существенный спектр, собственное значение оператора, свойство, пространство, операторная матрица, гильбертово пространство, существенный спектр оператора.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Обозначим Рассмотрим ограниченную самосопряженную блочно операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Там также установлено, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра.

Из определения оператора видно, что резольвента блочно-операторной матрицы опять является блочно-операторная матрица.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора . Пусть теперь .

Теорема 2. При каждом фиксированном резольвента оператора определяется следующим образом

Условия существования собственных значений одной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Теорема 2. При каждом фиксированном резольвента оператора определяется следующим образом

Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы

оператор, собственное значение, собственное значение оператора, оператор уничтожения, существенный спектр, гильбертово пространство, блочно-операторная матрица, вещественное число...

О достаточном условии конечности числа собственных значений...

Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, молекулярно-резонансной модель, блочно-операторная матрица, операторы рождения и

Заметим, что характер спектра, структура резольвенты, вид собственных векторов дискретного и непрерывного спектра...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

блочно-операторная матрица, дополнение, оператор, существенный спектр, собственное значение оператора, свойство, пространство, операторная матрица, гильбертово пространство, существенный спектр оператора.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Обозначим Рассмотрим ограниченную самосопряженную блочно операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Задать вопрос