Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (18) июль 2010 г.

Статья просмотрена: 57 раз

Библиографическое описание:

Максименко В. В. Построение равноугольных жёстких фреймов // Молодой ученый. — 2010. — №7. — С. 15-19. — URL https://moluch.ru/archive/18/1804/ (дата обращения: 17.12.2018).

Статья опирается на результаты работы [1]. Приводятся ограничения, которым должны удовлетворять  - размерность пространства и- количество векторов, составляющих фрейм, при которых существуют равноугольные жёсткие фреймы. Описывается алгоритм построения равноугольных жёстких фреймов на основе сигнатурных матриц. Приводятся результаты построения равноугольных жёстких фреймов с использованием представленного алгоритма для случая .

 Используем стандартное скалярное произведение векторов из  и норму . Система векторов  из  называется равноугольной, если

                      при всех     и        при                            

Здесь  - фиксированное число. Нас интересует случай . В докладе [2] выяснено, при каком значении  равноугольная система является жёстким фреймом. Справед­ливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Равноугольная система является жёстким фреймом тогда и только тогда, когда

                                                                                                                         

 

 Необходимое и достаточное условия существования равноугольного жёсткого фрейма

К сожалению, равноугольные жёсткие фреймы существуют не для всех пар . Чтобы выяснить для каких существуют, а для каких - нет, нам придётся проделать некоторые построения.

Пусть  - равноугольный жёсткий фрейм в , . Из столбцов  со­ставим матрицу  размера . По критерию жёсткого фрейма

                                                                                                                           

Рассмотрим теперь матрицу Грама . Для её элементов в силу равноугольности имеем

Поскольку  - жёсткий фрейм, то

Отсюда, в частности, следует, что .  Кроме того, справедливо равенство

                                                                                                     (1)

Рассмотрим матрицу   У неё ,   при . Вычислим матрицу  с учётом равенства (1):

                             

                                                     (2)

где

                                                                                  (3)

Из равенства (3) при  получим , откуда следует, что  является целым числом. Это одно из необходимых условий существования равноугольного жёсткого фрейма.

Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие введём понятие сигнатурной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.  Симметричная матрица  размера  называется сигнатурной, если

                                           при

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы при данных  и , , существовал равноугольный жёсткий фрейм, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 

    1.  число , определённое равенством (3) , является целым;

    2.  существует сигнатурная матрица Q такая, что

                                                                                                        (4)

Доказательство. Необходимость установлена выше. Докажем достаточность проще, чем в работе [1]. Выведем матрицу

                                      ,    где   

У неё , ;  при . Вычислим . С учётом  (4) элементарными вычислениями получим

 

  Из равенства  следует, что матрица  имеет собственные числа  и . Обозначим кратность первого числа через , тогда  имеет кратность . Поскольку , то .

Тогда симметричную матрицу G можно представить в виде  где  - ортогональная матрица, . Рассмотрим матрицу  размера  вида

                                    

где . Тогда  Для матрицы  справедливо равенство

                                                  

Столбцы  матрицы  образуют равноугольную систему. Действительно, ;      .

Кроме того, матрицы  и  имеют одинаковые ненулевые собственные числа. Следовательно, матрица  имеет только одно собственное число  кратности  и, значит,

                                                        

По определению система  - жёсткий фрейм в . Но тогда, по предложению 1, справедливо равенство

                                                       

 Отсюда                                    

 то есть . Построили равноугольный жёсткий фрейм в . Теорема доказана.

 

 Оценки числа элементов равноугольного жёсткого фрейма

В докладе [2] приведено простое доказательство следующего предложения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть . Если  - равноугольный жёсткий фрейм в , то

                                                                                                                        (5)

Это неравенство в сочетании с теоремой 1 позволяет установить другое ограничение на число .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.  Пусть , . Если  - равноугольный жёсткий фрейм в , то

                                                 .                                                       (6)

Доказательство.  По теореме 1 фрейму  соответствует сигнатурная матрица , удовлетворяющая уравнению

                                                

 где  задано формулой (3). Заменим в этой формуле  на . Отметим, что

                                      

Поэтому сигнатурная матрица  удовлетворяет равенству

                                         

Поскольку , , то по теореме 1 существует равноугольный жёсткий фрейм  в пространстве .

По предложению 2 справедливо неравенство (6). Предложение доказано.

 

Неравенства (5) и (6) вместе с требованием целочисленности  позволяют отбросить многие пары , для которых заведомо не существуют равноугольные жёсткие фреймы. Приведём ряд примеров для случая , .

ПРИМЕР 1. . Неравенство (5) имеет вид .

При  не выполнено неравенство (6).

При  оба неравенства (5) и (6) превращаются в равенства. Возникает подозрение, что в случае  есть равноугольный жёсткий фрейм. В явном виде он выписан в докладе [2].

ПРИМЕР 2. . Неравенство (5) имеет вид .

При  не выполнено неравенство (6).

При  число  не целое.

При  выполнены неравенства (5) и (6) и число . Как будет показано далее, в случае  равноугольный жёсткий фрейм не существует. 

 

 Нахождение равноугольных жёстких фреймов в случае  методом перебора сигнатурных матриц

Случай  является довольно исключительным. При  число  равно нулю и по теореме 1 для существования равноугольного жёсткого фрейма необходимо и достаточно существование сигнатурной матрицы , удовлетворяющей равенству

                                                                                                                     (7)

По определению сигнатурная матрица  симметрична. Поэтому если через  обозначить -ю строку , то условие (7) запишется в виде

                                              

Условие  выполняется автоматически так как каждая строка  содержит один ноль и  элементов, равных . Так что нужно только обеспечить ортогональность строк:  при .

Отметим, что если сигнатурная матрица  удовлетворяет (7), то после умножения го столбца и строки  на  снова получим решение (7). Поэтому можно считать, что в первой строке  стоят единицы:   

Далее можно пытаться строить строки  так, чтобы каждая строка была ортогональна предыдущим строкам.

При  это удаётся проделать вручную и получить матрицу

                                        

 удовлетворяющую равенству  (этот же пример приведён в [1]).

При  можно с помощью компьютерной программы перебирать элементы . Всего 21 элемент и  комбинаций . Полный перебор приводит к выводу, что сигнатурная матрица, удовлетворяющая равенству  не существует, и, следовательно, не существует равноугольный жёсткий фрейм при .

При  программа нашла сигнатурную матрицу

                        

удовлетворяющую равенству .

Далее с помощью компьютерной системы Maple 9.5 проводим символьные вычисления, указанные в доказательстве теоремы 1: строим матрицу , находим её ортогональное разложение , строим матрицу  размера :

С помощью Maple 9.5 легко проверяются равенства  и . Тем самым столбцы матрицы  образуют равноугольный жёсткий фрейм в .

Точно также программа нашла сигнатурные матрицы при  и , а с помощью Maple 9.5 построены равноугольные жёсткие фреймы в  и .

 

 Необходимое условие существования равноугольного жёсткого фрейма при . Это условие установлено в работе [3].

ТЕОРЕМА 2. Пусть , . Если существует равноугольный жёсткий фрейм   в , то  - нечётное и  является суммой двух квадратов целых чисел.

В качестве иллюстрации приведём примеры.

При чётном  и  равноугольный жесткий фрейм не существует.

При  числа  являются суммами квадратов двух целых чисел:

                                   

 В случаях , ,  существование равноугольных жёстких фреймов подтверждается расчётами (см. п. 4).

При ,  число  не представимо в виде суммы двух квадратов и по теореме 2 равноугольный жёсткий фрейм не существует.

 

Литература:

1.           Holmes R. B., Paulsen V. I. Optimal frames for erasures // Linear Algebra Appl. 2004. V. 377. P. 31-51. 

2.           Малозёмов В. Н., Певный А. Б. Равноугольные жёсткие фреймы // Проблемы математического анализа. 2009. Выпуск 39. С. 3-25.

3.           Sustik M. A., Tropp J. A., Dhillon I. S., Heath R. W. On the existence of equiangular tight frames  // Linear Algebra Appl. 2007. V. 426. P. 619-635.

Основные термины (генерируются автоматически): сигнатурная матрица, равноугольный жесткий фрейм, матрица, жесткий фрейм, равенство, равноугольная система, неравенство, теорема, фрейм, число.


Похожие статьи

Элементы теории графов в курсе дискретной математики

Пометьте вершины графа числами 1, 2, 3, … Найдите степени всех вершин графа. Проверьте справедливость леммы о рукопожатиях для данного графа.

(Воспользуйтесь поиском в ширину и теоремой Кенига). Постройте матрицу расстояний графа.

Построение волатильности по заданной плотности распределения...

Построение равноугольных жёстких фреймов.

Непрерывные аналоги закона распределения простых чисел. О некоторых непараметрических оценках плотности вероятности и кривой регрессии.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Рассмотрим блочно-операторную матрицу действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

где числа и определяются равенствами.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

; , где числа и определяются равенствами. , . Пусть множество тех точек , для которых равенство.

Теорема. Для существенного спектра оператора имеет место равенство.

Если для функции имеет место неравенство.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной матрицы.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

, , , а числа и определяются равенствами.

, При каждом вводим блочно-операторные матрицы (размера ) и действующие в пространстве по формулам.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор имеет...

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Построение фреймовой модели технологических задач сушки...

Система фреймов (для описания конкретной предметной области — первичной переработки хлопка) представляет собой

В отличие от моделей других типов, во фреймовых моделях фиксируется жесткая структура информационных единиц, которая называется протофреймом.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

. (4). Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) и в равенство (4) имеем, что.

Следовательно, и . Пользуясь неравенством получим, что. . Возможны три случая: 1) и...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве . Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство , где числа и

Теорема. Пусть . 1) Если , то верно равенство .

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Элементы теории графов в курсе дискретной математики

Пометьте вершины графа числами 1, 2, 3, … Найдите степени всех вершин графа. Проверьте справедливость леммы о рукопожатиях для данного графа.

(Воспользуйтесь поиском в ширину и теоремой Кенига). Постройте матрицу расстояний графа.

Построение волатильности по заданной плотности распределения...

Построение равноугольных жёстких фреймов.

Непрерывные аналоги закона распределения простых чисел. О некоторых непараметрических оценках плотности вероятности и кривой регрессии.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Рассмотрим блочно-операторную матрицу действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как.

где числа и определяются равенствами.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

; , где числа и определяются равенствами. , . Пусть множество тех точек , для которых равенство.

Теорема. Для существенного спектра оператора имеет место равенство.

Если для функции имеет место неравенство.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной матрицы.

Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного...

, , , а числа и определяются равенствами.

, При каждом вводим блочно-операторные матрицы (размера ) и действующие в пространстве по формулам.

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор имеет...

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом...

Построение фреймовой модели технологических задач сушки...

Система фреймов (для описания конкретной предметной области — первичной переработки хлопка) представляет собой

В отличие от моделей других типов, во фреймовых моделях фиксируется жесткая структура информационных единиц, которая называется протофреймом.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

. (4). Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) и в равенство (4) имеем, что.

Следовательно, и . Пользуясь неравенством получим, что. . Возможны три случая: 1) и...

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве . Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство , где числа и

Теорема. Пусть . 1) Если , то верно равенство .

Задать вопрос