Автор: Максименко Владимир Валерьевич

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (18) июль 2010 г.

Статья просмотрена: 38 раз

Библиографическое описание:

Максименко В. В. Построение равноугольных жёстких фреймов // Молодой ученый. — 2010. — №7. — С. 15-19.

Статья опирается на результаты работы [1]. Приводятся ограничения, которым должны удовлетворять  - размерность пространства и- количество векторов, составляющих фрейм, при которых существуют равноугольные жёсткие фреймы. Описывается алгоритм построения равноугольных жёстких фреймов на основе сигнатурных матриц. Приводятся результаты построения равноугольных жёстких фреймов с использованием представленного алгоритма для случая .

 Используем стандартное скалярное произведение векторов из  и норму . Система векторов  из  называется равноугольной, если

                      при всех     и        при                            

Здесь  - фиксированное число. Нас интересует случай . В докладе [2] выяснено, при каком значении  равноугольная система является жёстким фреймом. Справед­ливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Равноугольная система является жёстким фреймом тогда и только тогда, когда

                                                                                                                         

 

 Необходимое и достаточное условия существования равноугольного жёсткого фрейма

К сожалению, равноугольные жёсткие фреймы существуют не для всех пар . Чтобы выяснить для каких существуют, а для каких - нет, нам придётся проделать некоторые построения.

Пусть  - равноугольный жёсткий фрейм в , . Из столбцов  со­ставим матрицу  размера . По критерию жёсткого фрейма

                                                                                                                           

Рассмотрим теперь матрицу Грама . Для её элементов в силу равноугольности имеем

Поскольку  - жёсткий фрейм, то

Отсюда, в частности, следует, что .  Кроме того, справедливо равенство

                                                                                                     (1)

Рассмотрим матрицу   У неё ,   при . Вычислим матрицу  с учётом равенства (1):

                             

                                                     (2)

где

                                                                                  (3)

Из равенства (3) при  получим , откуда следует, что  является целым числом. Это одно из необходимых условий существования равноугольного жёсткого фрейма.

Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие введём понятие сигнатурной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.  Симметричная матрица  размера  называется сигнатурной, если

                                           при

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы при данных  и , , существовал равноугольный жёсткий фрейм, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 

    1.  число , определённое равенством (3) , является целым;

    2.  существует сигнатурная матрица Q такая, что

                                                                                                        (4)

Доказательство. Необходимость установлена выше. Докажем достаточность проще, чем в работе [1]. Выведем матрицу

                                      ,    где   

У неё , ;  при . Вычислим . С учётом  (4) элементарными вычислениями получим

 

  Из равенства  следует, что матрица  имеет собственные числа  и . Обозначим кратность первого числа через , тогда  имеет кратность . Поскольку , то .

Тогда симметричную матрицу G можно представить в виде  где  - ортогональная матрица, . Рассмотрим матрицу  размера  вида

                                    

где . Тогда  Для матрицы  справедливо равенство

                                                  

Столбцы  матрицы  образуют равноугольную систему. Действительно, ;      .

Кроме того, матрицы  и  имеют одинаковые ненулевые собственные числа. Следовательно, матрица  имеет только одно собственное число  кратности  и, значит,

                                                        

По определению система  - жёсткий фрейм в . Но тогда, по предложению 1, справедливо равенство

                                                       

 Отсюда                                    

 то есть . Построили равноугольный жёсткий фрейм в . Теорема доказана.

 

 Оценки числа элементов равноугольного жёсткого фрейма

В докладе [2] приведено простое доказательство следующего предложения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть . Если  - равноугольный жёсткий фрейм в , то

                                                                                                                        (5)

Это неравенство в сочетании с теоремой 1 позволяет установить другое ограничение на число .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.  Пусть , . Если  - равноугольный жёсткий фрейм в , то

                                                 .                                                       (6)

Доказательство.  По теореме 1 фрейму  соответствует сигнатурная матрица , удовлетворяющая уравнению

                                                

 где  задано формулой (3). Заменим в этой формуле  на . Отметим, что

                                      

Поэтому сигнатурная матрица  удовлетворяет равенству

                                         

Поскольку , , то по теореме 1 существует равноугольный жёсткий фрейм  в пространстве .

По предложению 2 справедливо неравенство (6). Предложение доказано.

 

Неравенства (5) и (6) вместе с требованием целочисленности  позволяют отбросить многие пары , для которых заведомо не существуют равноугольные жёсткие фреймы. Приведём ряд примеров для случая , .

ПРИМЕР 1. . Неравенство (5) имеет вид .

При  не выполнено неравенство (6).

При  оба неравенства (5) и (6) превращаются в равенства. Возникает подозрение, что в случае  есть равноугольный жёсткий фрейм. В явном виде он выписан в докладе [2].

ПРИМЕР 2. . Неравенство (5) имеет вид .

При  не выполнено неравенство (6).

При  число  не целое.

При  выполнены неравенства (5) и (6) и число . Как будет показано далее, в случае  равноугольный жёсткий фрейм не существует. 

 

 Нахождение равноугольных жёстких фреймов в случае  методом перебора сигнатурных матриц

Случай  является довольно исключительным. При  число  равно нулю и по теореме 1 для существования равноугольного жёсткого фрейма необходимо и достаточно существование сигнатурной матрицы , удовлетворяющей равенству

                                                                                                                     (7)

По определению сигнатурная матрица  симметрична. Поэтому если через  обозначить -ю строку , то условие (7) запишется в виде

                                              

Условие  выполняется автоматически так как каждая строка  содержит один ноль и  элементов, равных . Так что нужно только обеспечить ортогональность строк:  при .

Отметим, что если сигнатурная матрица  удовлетворяет (7), то после умножения го столбца и строки  на  снова получим решение (7). Поэтому можно считать, что в первой строке  стоят единицы:   

Далее можно пытаться строить строки  так, чтобы каждая строка была ортогональна предыдущим строкам.

При  это удаётся проделать вручную и получить матрицу

                                        

 удовлетворяющую равенству  (этот же пример приведён в [1]).

При  можно с помощью компьютерной программы перебирать элементы . Всего 21 элемент и  комбинаций . Полный перебор приводит к выводу, что сигнатурная матрица, удовлетворяющая равенству  не существует, и, следовательно, не существует равноугольный жёсткий фрейм при .

При  программа нашла сигнатурную матрицу

                        

удовлетворяющую равенству .

Далее с помощью компьютерной системы Maple 9.5 проводим символьные вычисления, указанные в доказательстве теоремы 1: строим матрицу , находим её ортогональное разложение , строим матрицу  размера :

С помощью Maple 9.5 легко проверяются равенства  и . Тем самым столбцы матрицы  образуют равноугольный жёсткий фрейм в .

Точно также программа нашла сигнатурные матрицы при  и , а с помощью Maple 9.5 построены равноугольные жёсткие фреймы в  и .

 

 Необходимое условие существования равноугольного жёсткого фрейма при . Это условие установлено в работе [3].

ТЕОРЕМА 2. Пусть , . Если существует равноугольный жёсткий фрейм   в , то  - нечётное и  является суммой двух квадратов целых чисел.

В качестве иллюстрации приведём примеры.

При чётном  и  равноугольный жесткий фрейм не существует.

При  числа  являются суммами квадратов двух целых чисел:

                                   

 В случаях , ,  существование равноугольных жёстких фреймов подтверждается расчётами (см. п. 4).

При ,  число  не представимо в виде суммы двух квадратов и по теореме 2 равноугольный жёсткий фрейм не существует.

 

Литература:

1.           Holmes R. B., Paulsen V. I. Optimal frames for erasures // Linear Algebra Appl. 2004. V. 377. P. 31-51. 

2.           Малозёмов В. Н., Певный А. Б. Равноугольные жёсткие фреймы // Проблемы математического анализа. 2009. Выпуск 39. С. 3-25.

3.           Sustik M. A., Tropp J. A., Dhillon I. S., Heath R. W. On the existence of equiangular tight frames  // Linear Algebra Appl. 2007. V. 426. P. 619-635.

Основные термины (генерируются автоматически): равноугольный жёсткий фрейм, равноугольные жёсткие фреймы, равноугольных жёстких фреймов, жёсткого фрейма, равноугольного жёсткого фрейма, построения равноугольных жёстких, сигнатурная матрица, матрицу размера, существования равноугольного жёсткого, Linear Algebra Appl, строим матрицу, жёстким фреймом, матрицу Грама, критерию жёсткого фрейма, целых чисел, случае равноугольный жёсткий, Равноугольные жёсткие фреймы, равноугольный жесткий фрейм, Построение равноугольных жёстких, алгоритм построения равноугольных.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос