Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Худаяров С. С. Числовой образ линейных операторов: основные свойства и примеры // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 33-36.

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Ключевые слова: числовой образ, выпуклые множества, матрица, линейный оператор, точечный и аппроксимативно точечный спектры, ядро спектра, оператор левого сдвига, неравенство Коши-Буняковского.

 

1. Введение. Пусть  комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество

называется числовой образ оператора . Из определения видно, что множество  является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества  дает некоторые информации об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. В работе [2] показано, что числовой образ линейного оператора является выпуклым. Отметим, что выше сказанные результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр произвольного линейного ограниченного оператора содержится в замыкании числового образа этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4–6].

Числовой образ матриц хорошо изучены во многих работах, см. например [7,8]. В частности, в работе [7] доказано, что числовой образ матрицы  есть эллипс. Отметим, что [7] в случае, когда оператор является ограниченным и самосопряженным, замыкание числового образа есть выпуклая оболочка спектра.

Данная работа посвящена изучению основных свойств числового образа линейного оператора. Вычислен числовой образ нескольких линейных операторов разного характера.

2. Основные свойства. В этом пункте ради удобства для читателей сформулируем некоторых свойств числового образа линейного оператора.

Пусть  и  — множество натуральных, вещественных и комплексных чисел, соответственно. Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, точечный спектр и аппроксимативно точечный спектр линейного оператора. Всюду в работе под  и  понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

Свойства 1 (Теорема Тёплица-Хаусдорфа): Числовая образ линейного оператора есть выпуклая множества.

Свойства 2:  тогда и только тогда, когда  самосопряженный оператор.

Свойства 3: Пусть  самосопряженный оператор и  для некоторых . Тогда имеет место равенство .

Свойства 4: Пусть . Тогда .

Свойства 5: Имеет место включение.

Определим (см. [8]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора  как

Подчеркнем, что последнее множество имеет еще одно название, «ядро спектра»  (см. [10]).

Следующее свойства устанавливает связь между  и :

Свойства 6: Имеет место соотношение.

Следующий пример показывает, что даже для ограниченного самосопряженного оператора  в гильбертовом пространстве  мы не сможем утверждать, что  или .

Пусть

.

Легко проверяется, что

Остановимся, на доказательство факта . Допустим противное. Пусть . Тогда существует такое, что  и . Имеем

Отсюда следует, что . Это противоречит факту . Значить . Следовательно, в этом случае имеем .

3. Примеры. В этом пункте рассмотрим некоторые примеры на вычисление числового образа линейного ограниченного оператора.

1. Пусть  комплексное гильбертово пространство, а  некоторое фиксированное комплексное число. Тогда для числового образа оператора ,  имеет место равенство

Действительно, если тогда , т. е.

2. Вычислить числовой образ оператора где  и  произвольные вещественные числа.

Возьмем произвольный элемент . Тогда  Если обозначить  тогда , где . Поэтому

Так как  то

3. Вычислить числовой образ оператора

Возьмем произвольный элемент  координаты которого удовлетворяют условию . Обозначим  Тогда  Теперь рассмотрим квадратную форму  для элементов

Здесь  Если обозначить тогда  и  Поэтому

Видно, что когда  пробегает от  до  квадратная форма  описывает окружность с центром в начале координат и с радиусом  Тогда объединение таких окружностей по  дает множество . Учитывая  получим, что множество  есть круг с центром в начале координат и с радиусом , т. е.

.

4. Числовой образ оператора  вычисляется как в примере 3 и верно  (вычислить самостоятельно).

5. Покажем, что для числового образа оператора левого сдвига

имеет место равенство

Очевидно, что для каждого  вектор  принадлежит в  и , т. е. каждое  является собственным значением оператора  и соответствующий собственный вектор равно . Тогда . Так как  имеем . Поэтому достаточно показать, что ни одна точка единичной окружности не лежит в . Допустим противное, т. е. пусть некоторое комплексное число с модулью 1 лежат в . Тогда существует элемент  такое, что  и Так как , согласно неравенству Коши-Буняковского имеет место соотношение . Отсюда вытекает, что  Легко можно проверить, что уравнению  удовлетворяет только . С другой стороны  поэтому . Это противоречие показывает, что .

6. Пусть отображение представляется в виде

Допустим, что - единичный вектор в  т. е.

Тогда

и

 

Таким образом

Последнее есть семейства окружностей, берем их объединение.

Перепишем последнее выражение в следующем виде

,

и дифференцируя по  получим

Из последних двух выражений получим

Это и есть эллипс.

 

Литература:

 

1.         O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z. — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — pp. 187–197.

2.         F. Hausdorff. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z. — 1919, — V. 3, — no. 1, — pp. 314–316.

3.         A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen // Math. Z. — 1929, — V. 30, — no. 1, — pp. 228–281.

4.         H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl. — 2001, — V. 330, — no. 1–3, — pp. 89–112.

5.         C. Tretter, M. Wagenhofer. The block numerical range of an  block operator matrix // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2003, — V. 24, — no. 4, — pp. 1003–1017.

6.         L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory. — 2011, — V. 71, — pp. 245–257.

7.         K. Gustafson, D. K. M. Rao. Numerical range: The field of values of linear operators and matrices. Berlin, Springer, 1997.

8.         D. S. Keeler, L. Rodman, I. M. Spitkovsky. The numerical range of  matrices // Linear Algebra and its Appl. — 1997, — V. 252, — no. 1–3, — pp. 115–139.

9.         М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М. Мир, 1982.

10.     М. Саломяк, М. Бирман. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Ленинград, Изд. Ленинградского университета, 1980.

Основные термины (генерируются автоматически): числового образа, линейного оператора, числового образа линейного, образа линейного оператора, числовой образ, линейного ограниченного оператора, образ линейного оператора, образ оператора, числового образа оператора, числовой образ оператора, спектр линейного оператора, Числовой образ, свойств числового образа, оператора в гильбертовом пространстве, числовой образ матрицы, точечный спектр линейного, numerical range, линейного оператора в комплексном, линейного оператора в гильбертовом, числовой образ линейного.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос