Автор: Сафарова Нигора Насиллоева

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (106) январь-2 2016 г.

Дата публикации: 20.01.2016

Статья просмотрена: 25 раз

Библиографическое описание:

Сафарова Н. Н. О собственных значениях произведений операторов // Молодой ученый. — 2016. — №2. — С. 28-31.

 

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д.

Пусть  — матрицы с комплексными элементами. В данной работе дадим 5 разные доказательство следующего утверждения.

Теорема 1.Матрицы и имеют одинаковые собственные значение.

Сначала приводим некоторые общеизвестные факты [1–4].

Пусть – след матрицы , а детерминант матрицы . Тогда имеют место следующие соотношение:

;(1)

;(2)

и они хорошо известны в курсе линейной алгебры.

Под следом матрицы понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:

.

Нетрудно видеть, что

,

если – характеристические числа матрицы .

Доказательство равенство (1) очевидно. Докажем соотношение (2).

Пуст

характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы . Известно, что является –ый элементарный многочлен этих чисел. Следовательно,

;

;

.

Чтобы доказать теоремы 1 надо показать, что

(3)

для всех .

Мы знаем, что этот факт верны в случаях и . Докажем, что оно верна при остальных значениях .

Доказательство 1. Достаточно показать равенство

(4)

при всех . Подчеркнем, что характеристические числа матрицы является –ый степень характеристических чисел матрицы . Таким образом,

.

Поэтому соотношение (4) эквивалентно следующему

.

С другой стороны из (1) вытекает, что

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 2. Соотношение (3) можно доказать непосредственно. Коэффициент является суммой всех принципиальных миноров порядка матрицы . Прямые вычисления (с помощью формулы Бине–Коши) приводят соотношению (3). Более софистская версия этого аргумента включается анти–симметрической тензорной произведений . Оно является матрицей порядка , элементы который будут миноры порядка матрицы . Тогда

.

Один из важных свойств является следующая:

.

Следовательно,

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 3. Это доказательство вводит аргумент непрерывности, который полезный во многих контекстах. Предположим, что обратимая (не сингулярная) матрица. Тогда

.

Поэтому и являются подобными, и следовательно, имеют одинаковые собственные значение. Таким образом, соотношение (3) верно в случае, когда обратимо. Чтобы доказать в общем случае мы нуждаемся два факта: а) Если не сингулярная, мы можем выбрать последовательность не сингулярных матриц такое, что . б) Функция есть многочлен элементов матрицы , и следовательно, они непрерывны. Таким образом, если сингулярная, то мы можем выбрать последовательность не сингулярных матриц такое, что и заметим, что

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 4. В этом доказательстве используется блочные матрицы . Рассмотрим матрицы вида

,

элементы, которых являются матрицы , а есть нулевая матрица. Характеристические число этой матрицы есть характеристические числа матриц и . Детерминант этой матрицы равно

.

Для любой матрицы порядка , матрица

порядка является обратимым, и его обратное имеет вид

.

Учитывая этот факт получим, что

.

Следовательно, матрицы

и

подобны, и поэтому имеют одинаковые характеристические числа. Таким образом, матрицы и имеют одинаковые характеристические числа. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 5. Пусть идемпотентная матрица, т. е. . Тогда является оператором проектирования (не обязательно ортогональной). В этом случае, некотором базисе (не обязательно ортонормальной) матрица записывается как

.

В этом базисе пусть

.

Тогда

.

Поэтому и имеют одинаковые собственные числа. Пусть теперь произвольная матрица. Тогда существует обратимая матрица такое, что

.

Заметим, что есть идемпотентная матрица и применяем специальный случай подставляя вместо матрицы , а вместо матрицы . Это показывает, что и имеют одинаковые характеристические числа. С другими словами, и имеют одинаковые характеристические числа. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Пусть и две линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . Тогда ненулевые элементы спектров операторов и совпадают.

Пусть и две прямоугольные матрицы. Если обе произведение и имеют смысл, то ненулевые характеристические числа и совпадают.

 

Литература:

 

  1.      Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
  2.      R. Bhatia. Matrix analysis. Springer-Verlag, New York, 1997.
  3.      R. Bhatia. Positive definite matrices. In: Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, 1997
  4.      F. Nielsen, R. Bhatia. Matrix Information Geometry. Springer, XII, 2013, 454.
Основные термины (генерируются автоматически): характеристические числа, порядка матрицы, доказательство теоремы, характеристические числа матрицы, матрицы с комплексными элементами, характеристический многочлен матрицы, одинаковые собственные значение, одинаковые характеристические числа, характеристическими числами матрицы, многочлен элементов матрицы, миноров порядка матрицы, характеристических чисел матрицы, детерминант матрицы, миноры порядка матрицы, след матрицы, матрицы порядка, блочные матрицы, прямоугольные матрицы, матрицы равно, матрицы вида.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос