О собственных значениях произведений операторов

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д.

Пусть  — матрицы с комплексными элементами. В данной работе дадим 5 разные доказательство следующего утверждения.

Теорема 1.Матрицы и имеют одинаковые собственные значение.

Сначала приводим некоторые общеизвестные факты [1–4].

Пусть – след матрицы , а детерминант матрицы . Тогда имеют место следующие соотношение:

;(1)

;(2)

и они хорошо известны в курсе линейной алгебры.

Под следом матрицы понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:

Нетрудно видеть, что

,

если – характеристические числа матрицы .

Доказательство равенство (1) очевидно. Докажем соотношение (2).

Пуст

характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы . Известно, что является –ый элементарный многочлен этих чисел. Следовательно,

;

;

Чтобы доказать теоремы 1 надо показать, что

(3)

для всех .

Мы знаем, что этот факт верны в случаях и . Докажем, что оно верна при остальных значениях .

Доказательство 1. Достаточно показать равенство

(4)

при всех . Подчеркнем, что характеристические числа матрицы является –ый степень характеристических чисел матрицы . Таким образом,

.

Поэтому соотношение (4) эквивалентно следующему

.

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 2. Соотношение (3) можно доказать непосредственно. Коэффициент является суммой всех принципиальных миноров порядка матрицы . Прямые вычисления (с помощью формулы Бине–Коши) приводят соотношению (3). Более софистская версия этого аргумента включается анти–симметрической тензорной произведений . Оно является матрицей порядка , элементы который будут миноры порядка матрицы . Тогда

.

Один из важных свойств является следующая:

.

Следовательно,

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 3. Это доказательство вводит аргумент непрерывности, который полезный во многих контекстах. Предположим, что обратимая (не сингулярная) матрица. Тогда

Поэтому и являются подобными, и следовательно, имеют одинаковые собственные значение. Таким образом, соотношение (3) верно в случае, когда обратимо. Чтобы доказать в общем случае мы нуждаемся два факта: а) Если не сингулярная, мы можем выбрать последовательность не сингулярных матриц такое, что . б) Функция есть многочлен элементов матрицы , и следовательно, они непрерывны. Таким образом, если сингулярная, то мы можем выбрать последовательность не сингулярных матриц такое, что и заметим, что

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 4. В этом доказательстве используется блочные матрицы . Рассмотрим матрицы вида

,

элементы, которых являются матрицы , а есть нулевая матрица. Характеристические число этой матрицы есть характеристические числа матриц и . Детерминант этой матрицы равно

.

Для любой матрицы порядка , матрица

порядка является обратимым, и его обратное имеет вид

Учитывая этот факт получим, что

.

Следовательно, матрицы

и

подобны, и поэтому имеют одинаковые характеристические числа. Таким образом, матрицы и имеют одинаковые характеристические числа. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 5. Пусть идемпотентная матрица, т. е. . Тогда является оператором проектирования (не обязательно ортогональной). В этом случае, некотором базисе (не обязательно ортонормальной) матрица записывается как

.

В этом базисе пусть

Тогда

.

Поэтому и имеют одинаковые собственные числа. Пусть теперь произвольная матрица. Тогда существует обратимая матрица такое, что

.

Заметим, что есть идемпотентная матрица и применяем специальный случай подставляя вместо матрицы , а вместо матрицы . Это показывает, что и имеют одинаковые характеристические числа. С другими словами, и имеют одинаковые характеристические числа. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Пусть и две линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . Тогда ненулевые элементы спектров операторов и совпадают.

Пусть и две прямоугольные матрицы. Если обе произведение и имеют смысл, то ненулевые характеристические числа и совпадают.

Литература:

1.      Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
2.      R. Bhatia. Matrix analysis. Springer-Verlag, New York, 1997.
3.      R. Bhatia. Positive definite matrices. In: Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, 1997
4.      F. Nielsen, R. Bhatia. Matrix Information Geometry. Springer, XII, 2013, 454.