О собственных значениях произведений операторов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (106) январь-2 2016 г.

Дата публикации: 20.01.2016

Статья просмотрена: 35 раз

Библиографическое описание:

Сафарова Н. Н. О собственных значениях произведений операторов // Молодой ученый. — 2016. — №2. — С. 28-31. — URL https://moluch.ru/archive/106/25253/ (дата обращения: 21.09.2018).

 

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д.

Пусть  — матрицы с комплексными элементами. В данной работе дадим 5 разные доказательство следующего утверждения.

Теорема 1.Матрицы и имеют одинаковые собственные значение.

Сначала приводим некоторые общеизвестные факты [1–4].

Пусть – след матрицы , а детерминант матрицы . Тогда имеют место следующие соотношение:

;(1)

;(2)

и они хорошо известны в курсе линейной алгебры.

Под следом матрицы понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:

.

Нетрудно видеть, что

,

если – характеристические числа матрицы .

Доказательство равенство (1) очевидно. Докажем соотношение (2).

Пуст

характеристический многочлен матрицы , –его корни с учетом кратности. Они являются характеристическими числами матрицы . Известно, что является –ый элементарный многочлен этих чисел. Следовательно,

;

;

.

Чтобы доказать теоремы 1 надо показать, что

(3)

для всех .

Мы знаем, что этот факт верны в случаях и . Докажем, что оно верна при остальных значениях .

Доказательство 1. Достаточно показать равенство

(4)

при всех . Подчеркнем, что характеристические числа матрицы является –ый степень характеристических чисел матрицы . Таким образом,

.

Поэтому соотношение (4) эквивалентно следующему

.

С другой стороны из (1) вытекает, что

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 2. Соотношение (3) можно доказать непосредственно. Коэффициент является суммой всех принципиальных миноров порядка матрицы . Прямые вычисления (с помощью формулы Бине–Коши) приводят соотношению (3). Более софистская версия этого аргумента включается анти–симметрической тензорной произведений . Оно является матрицей порядка , элементы который будут миноры порядка матрицы . Тогда

.

Один из важных свойств является следующая:

.

Следовательно,

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 3. Это доказательство вводит аргумент непрерывности, который полезный во многих контекстах. Предположим, что обратимая (не сингулярная) матрица. Тогда

.

Поэтому и являются подобными, и следовательно, имеют одинаковые собственные значение. Таким образом, соотношение (3) верно в случае, когда обратимо. Чтобы доказать в общем случае мы нуждаемся два факта: а) Если не сингулярная, мы можем выбрать последовательность не сингулярных матриц такое, что . б) Функция есть многочлен элементов матрицы , и следовательно, они непрерывны. Таким образом, если сингулярная, то мы можем выбрать последовательность не сингулярных матриц такое, что и заметим, что

.

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 4. В этом доказательстве используется блочные матрицы . Рассмотрим матрицы вида

,

элементы, которых являются матрицы , а есть нулевая матрица. Характеристические число этой матрицы есть характеристические числа матриц и . Детерминант этой матрицы равно

.

Для любой матрицы порядка , матрица

порядка является обратимым, и его обратное имеет вид

.

Учитывая этот факт получим, что

.

Следовательно, матрицы

и

подобны, и поэтому имеют одинаковые характеристические числа. Таким образом, матрицы и имеют одинаковые характеристические числа. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство 5. Пусть идемпотентная матрица, т. е. . Тогда является оператором проектирования (не обязательно ортогональной). В этом случае, некотором базисе (не обязательно ортонормальной) матрица записывается как

.

В этом базисе пусть

.

Тогда

.

Поэтому и имеют одинаковые собственные числа. Пусть теперь произвольная матрица. Тогда существует обратимая матрица такое, что

.

Заметим, что есть идемпотентная матрица и применяем специальный случай подставляя вместо матрицы , а вместо матрицы . Это показывает, что и имеют одинаковые характеристические числа. С другими словами, и имеют одинаковые характеристические числа. Это и завершает доказательство теоремы 1.

Пусть и две линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . Тогда ненулевые элементы спектров операторов и совпадают.

Пусть и две прямоугольные матрицы. Если обе произведение и имеют смысл, то ненулевые характеристические числа и совпадают.

 

Литература:

 

  1.      Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
  2.      R. Bhatia. Matrix analysis. Springer-Verlag, New York, 1997.
  3.      R. Bhatia. Positive definite matrices. In: Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, 1997
  4.      F. Nielsen, R. Bhatia. Matrix Information Geometry. Springer, XII, 2013, 454.
Основные термины (генерируются автоматически): матрица, доказательство теоремы, характеристическое число матрицы, доказательство, идемпотентная матрица, матрица порядка, соотношение, число.


Похожие статьи

О свойствах положительно определенных матриц

Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами. Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным.

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы...

. Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

Основные термины (генерируются автоматически): собственное число матрицы, числовой образ матрицы, доказательство леммы, лемма, характеристическое уравнение матрицы...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Для рассмотрим матрицу. . (1). При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы .

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы Для этого...

; ; . Теорема 1. Если то , то. . Доказательство. Найдем собственные числа матрицы .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3. Следствие.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Р. Н. Мирзакобилов. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера . Молодой учёный.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

сигнатурная матрица, равноугольный жесткий фрейм, матрица, жесткий фрейм, равенство, равноугольная система, неравенство, теорема, фрейм, число.

О свойствах положительно определенных матриц

Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами. Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным.

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы...

. Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

Основные термины (генерируются автоматически): собственное число матрицы, числовой образ матрицы, доказательство леммы, лемма, характеристическое уравнение матрицы...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Для рассмотрим матрицу. . (1). При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы .

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы Для этого...

; ; . Теорема 1. Если то , то. . Доказательство. Найдем собственные числа матрицы .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3. Следствие.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Р. Н. Мирзакобилов. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера . Молодой учёный.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

сигнатурная матрица, равноугольный жесткий фрейм, матрица, жесткий фрейм, равенство, равноугольная система, неравенство, теорема, фрейм, число.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О свойствах положительно определенных матриц

Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами. Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным.

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы...

. Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

Основные термины (генерируются автоматически): собственное число матрицы, числовой образ матрицы, доказательство леммы, лемма, характеристическое уравнение матрицы...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Для рассмотрим матрицу. . (1). При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы .

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы Для этого...

; ; . Теорема 1. Если то , то. . Доказательство. Найдем собственные числа матрицы .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3. Следствие.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Р. Н. Мирзакобилов. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера . Молодой учёный.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

сигнатурная матрица, равноугольный жесткий фрейм, матрица, жесткий фрейм, равенство, равноугольная система, неравенство, теорема, фрейм, число.

О свойствах положительно определенных матриц

Пусть множество комплексных чисел, - декартовое произведение, а множество матриц размера с комплексными элементами. Если для матрицы имеет место неравенство при всех , то матрица называется положительно определенным.

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы...

. Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения

Основные термины (генерируются автоматически): собственное число матрицы, числовой образ матрицы, доказательство леммы, лемма, характеристическое уравнение матрицы...

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Для рассмотрим матрицу. . (1). При исследовании структуры матрицы большую роль играют векторы , для которых . Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа –собственными или характеристическими числами матрицы .

Доказательство. Найдем собственные числа матрицы Для этого...

; ; . Теорема 1. Если то , то. . Доказательство. Найдем собственные числа матрицы .

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения.

Условия существования собственных значений одной операторной...

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными

Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.

Доказательства теоремы 1 вытекает из леммы 2 и 3. Следствие.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Доказательство.

Р. Н. Мирзакобилов. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера . Молодой учёный.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Построение равноугольных жёстких фреймов | Статья в журнале...

сигнатурная матрица, равноугольный жесткий фрейм, матрица, жесткий фрейм, равенство, равноугольная система, неравенство, теорема, фрейм, число.

Задать вопрос