Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 2 ноября, печатный экземпляр отправим 6 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (199) март 2018 г.

Дата публикации: 28.03.2018

Статья просмотрена: 5904 раза

Библиографическое описание:

Черкасова М. С. Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры // Молодой ученый. — 2018. — №13. — С. 9-22. — URL https://moluch.ru/archive/199/48947/ (дата обращения: 21.10.2019).



Бог не играет в кости.

А. Эйнштейн

В практической деятельности нам очень часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых их участники (два или более) отстаивают свои, не совпадающие с другими, цели и интересы, касающиеся объекта спора. Наглядным примером может послужить взаимоотношение между начальником и работником в момент, когда руководство требует немедленного выполнения большого количества поставленных задач, в том числе и тех, что не входят в должностные обязанности подчиненного, без дополнительной оплаты. Таким образом, из-за того, что работник отказывается бесплатно выполнять эти задачи, а начальник, в свою очередь, грозится увольнением, возникла ситуация, которая называется конфликтной (или просто конфликт).

Изучением оптимальных решений в конфликтных ситуациях занимается один из разделов прикладной математики. Для этого строится упрощенная формализованную модель конфликта, которую принято называть игрой. При этом модель отличается от реальной ситуации тем, что игра ведется по вполне определенным правилам и в ней не учитываются второстепенные обстоятельства, не влияющие на исход события. [1]. Для решения модели разработаны специальные научно обоснованные методы, которые изучает математическая теория конфликтных ситуаций, получившая название теория игр.

Основополагающим в теории игр является само понятие игры, четкое указание, кто и как участвует в конфликте, возможные исходы конфликта, а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах.

Независимо от области деятельности, в которой произошел конфликт (экономика, политика, производственная деятельность, спорт и т. д.) участники игры (конфликта) всегда называются игроками, исход конфликта — выигрышем. Элементами игры являются ходы. Ход — это момент игры, связанный с выбором игроком определенной стратегии поведения, он бывает личный и случайный. Личный ход — это осознанный выбор игроком одного из возможных действий, установленных правилами. Например, каждый ход в шахматной игре является личным, причем при первом шаге идет выбор между двадцатью вариантами. Случайный ход представляет собой выбор одного из множества вариантов, но вариант выбирается не игроками, а механизмом случайного выбора (примером может послужить бросание монеты) [2]. Выбор, полученный при случайном ходе, называют исходом этого хода.

Возможный способ действия игрока или коалиции называется Стратегией игрока [3]. В процессе игры каждый участник выбирает свою стратегию, в результате которой складывается набор стратегий, называемый ситуацией. Игрок, выбирая стратегию, должен учитывать условие оптимальности, т. е. один из участников должен получить минимальный проигрыш, в то время как другой должен получить максимальный выигрыш, при условии, что все игроки придерживаются выбранных стратегий. Оптимальные стратегии должны удовлетворять условию устойчивости, т. е. каждому игроку будет невыгодно отказываться от своих стратегий. Если игра повторяется достаточно большое количество раз, то игроков может интересовать не выигрыш или проигрыш в конкретной партии, а средний результат во всех партиях [4].

Поэтому, для решения модели необходимо классифицировать игру по следующим критериям:

Количество игроков. Если в игре принимают участие две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если же количество участников больше двух, то ее называют игрой n лиц [5]. На данный момент наиболее глубоко проработаны игры двух лиц, так как изучение большего числа игроков затруднено из-за множества возникающих трудностей и технических возможностей получения решений.

Количество стратегий. Различают конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий, и бесконечной — в противном случае.

Характер взаимодействия сторон. По этому критерию игры подразделяются на бескоалиционные, коалиционные (кооперативные). При рассмотрении игр n лиц (где n≥3) обнаруживаются две возможности: правила игры могут либо запрещать, либо разрешать объединение игроков в так называемые коалиции, т. е. в группы из двух и более участников, имеющих общую цель и координирующих свои стратегии.

Первый случай называется бескоалиционным, в котором основным вопросом является существование ситуаций равновесия. Второй случай, когда кооперация разрешена, называется коалиционным (при условии, что коалиции определены заранее). В случае игры из двух лиц имеет место только одна возможная коалиция. В случае из n участников возможных коалиций существует много.

Из двух типов игр, кооперативные описывают процесс игры в целом, в то время как бескоалиционные рассматривают ситуации в мельчайших подробностях, давая более точный результат.

Так же существуют гибридные игры, содержащие в себе элементы коалиционных и бескоалиционных игр. Например, игроки имеют право объединяться в коалиции, но сама игра будет вестись в бескоалиционном стиле. То есть, каждый игрок будет преследовать интересы группы, одновременно стараясь получить личную выгоду.

Характер выигрышей. По этому критерию игры делятся на игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой.

Игры с нулевой суммой — разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, в которых имеющиеся ресурсы всех участвующих лиц не меняются. В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.

Таблица 1

А\Б

А

Б

А

-1,1

3,-3

Б

0,0

-2,2

Примерами таких игр могут послужить покер, где один выигрывает все ставки остальных; или банальное воровство.

Антагонистической (с нулевой суммой, англ. zero-sum) называется бескоалиционная игра, в которой участвуют два лица, выигрыши которых противоположны.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой , где X, Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого участника, которая ставит в соответствие каждой паре стратегий (x, y), x ϵ X, y ϵ Y, действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считают, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название.

Простым примером может служить игра «Орлянка».

Таблица 2

X\Y

Орел

Решка

Орел

-1,1

1,-1

Решка

1,-1

-1,1

Один игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а другой пытается угадать, как она спрятана. Если он угадывает — первый платит ему одну денежную единицу, если не угадывает — то он платит первому одну денежную единицу.

В данной игре каждый участник имеет две стратегии: «орел» и «решка». Множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока x, в столбцах — стратегии второго игрока y. Для каждой ситуации представлены выигрыши первого и второго участников.

В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:

,

где x ϵ X, y ϵ Y — стратегии первого и второго игроков, соответственно.

Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то [6].

Однако игры бывают не только с нулевой суммой. Рассматриваемые ранее ситуации хорошо подходят для игр, в которых ставками являются небольшие суммы денег, но для случаев, когда ставки имеют более сложное содержание (что встречается гораздо чаще), интересы двух участников уже не будут прямо противоположны. Зачастую они могут выгадать при помощи кооперирования. Такие игры называются играми с произвольной суммой, в частных случаях они могут содержать в себе игры с нулевой суммой [7].

–Вид функций выигрыша. Игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, типа дуэлей, сепарабельные и др.

В качестве примера возьмем наиболее распространенные матричную и биматричную игры.

Матричной называется конечная игра из двух игроков с нулевой суммой, причем каждый из игроков имеет конечное число стратегий.

Для удобства обозначим одного из игроков через A, другого — через В.

Пусть у игрока А имеется m стратегий — , а у игрока В — n стратегий — .

Пусть игрок В выбрал стратегию , а игрок А — стратегию Будем считать, что выбор участниками игры стратегий и однозначно определяет исход игры — выигрыш игрока В и выигрыш игрока А, при условии, что эти выигрыши связаны равенством

(обычно отрицательный выигрыш называют проигрышем) [8].

В данной ситуации видно, что выигрыш одного участника равен выигрышу другого участника, взятого со знаком минус. Это позволяет нам рассматривать выигрыши только одного из игроков. Для примера возьмем выигрыши игрока А.

Результаты выигрыша в каждой возможной ситуации , где i = 1, 2, …, m, k = 1, 2, …, n можно записывать в виде матрицы

А = .

Матрица А с размерами m x n и будет называться матрицей игры, или платежной матрицей (откуда и пошло название игры — матричная).

Следует заметить, что в матричных играх интересы игроков прямо противоположны, что является признаком антагонистических игр.

Задача теории игр — определить выбор стратегий двух игроков, при которых первому гарантируется максимальный средний выигрыш, а второму — проигрыш.

Разберемся, как происходит выбор стратегий в матричной игре.

Возьмем платежную матрицу

А = .

Для начала определим наилучшую стратегию первого игрока из возможных . Игрок А, выбирая подходящую стратегию , при которой у него будет максимальный выигрыш, должен учитывать тот факт, что игрок В будет стремиться «навредить» противнику, выбирая стратегию , в которой выигрыш игрока А будет минимальным.

Таким образом, выигрыш первого игрока (обозначим его через ), будет называться максиминным выигрышем или нижней ценой игры.

Теперь для j-ой стратегии второго игрока определим величину проигрыша. В данном случае первый участник использует такую стратегию, при которой проигрыш противника будет максимален, а второй игрок, в свою очередь, использует стратегию для минимального проигрыша. Проигрыш второго игрока (обозначим его через ) называется минимаксным проигрышем или верхней ценой игры.

Если в игре выполняется условие, что верхнее и нижнее, чистые цены игры совпадают, т. е. , то говорят, что в игре имеется седловая точка: .

Седловая точка — пара чистых стратегий (, при которых достигается равенство [9].

Пример. Найти чистую цену и седловую точку в игре из двух участников с нулевой суммой, в которой платежная матрица второго игрока представлена в виде таблицы.

Таблица 3

Игроки

a = min ()

4

5

9

3

3

7

0

8

2

0

3

8

0

1

0

b = max ()

7

8

9

3

0

Решение. Проверяем, существует ли седловая точка в платежной матрице. Если да, то записываем решение в чистых стратегиях. Определяем гарантированный выигрыш, который определяется нижней ценой игры a = max () = (3, 0, 0, 0) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию .

Верхняя цена игры b = min () = (7, 8, 9, 3) = 3 [11].

Седловая точка (1, 4) указывает решение на пару альтернатив (). Цена игры равна 3 [10].

Рассмотрим общий алгоритм решения матричной игры.

Описание алгоритма:

  1. Определить, существуют ли в платежной матрице доминируемые стратегии, при положительном результате исключить их.
  2. Найти нижнюю и верхнюю цены игры и определить, имеет ли матрица седловую точку (верхняя цена игры равняется нижней).
  3. Если игра имеет седловую точку, то чистые стратегии игроков, соответствующие седловой точке, будут оптимальными и будут являться решением игры.
  4. Если седловой точки не существует, то решение скрывается в смешанных стратегиях.

Представим графически алгоритм решения матричной игры.

Рис. 1. Графический алгоритм решения матричной игры

При отсутствии седловой точки решение матричной игры проводят в смешанных стратегиях. Рассмотрим несколько методов.

  1. Система уравнений.

Если платежная матрица является квадратной, т. е. размера n x n (n = m), то вектор вероятностей можно найти, составив и решив систему уравнений. Данный метод удобен в редких случаях. Чаще всего его используют, когда дана матрица 2 х 2, так как решение игры получается практически всегда. Если же в решении получаются отрицательные вероятности, то такую систему следует решать симплекс-методом [5].

  1. Графический метод.

Если дана платежная матрица размера 2 х 2, то решают графическим методом.

  1. Симплекс-метод.

Если дана платежная матрица размера n x m, то ее решают симплекс-методом. В данном случае игра сводится к решению задачи линейного программирования.

На примерах подробно рассмотрим применение этих методов.

Пример 1. Рассмотрим игру двух лиц с противоположными интересами.

Решение.

  1. Проверяем, существует ли седловая точка. Если да, то записываем решение игры в чистых стратегиях, как это было представлено ранее. Если седловой точки нет, решаем матричную игру при помощи системы уравнений.

Таблица 4

Игроки

a = min ()

5

3

3

2

8

2

b = max ()

5

8

Определяем гарантированный выигрыш, который определяется нижней ценой игры a = max () = (3, 2) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию .

Верхняя цена игры b = min () = (5, 8) = 5.

Так как a b, можно утверждать, что седловая точка отсутствует, это означает, что цена игры находится в интервале 3 y 5 [11]. Найдем решение матричной игры в смешанных стратегиях (из-за того, что игрокам приходится случайным образом смешивать свои чистые стратегии, выигрыш игрока будет случайной величиной).

  1. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Для этого запишем систему уравнений.

Для первого игрока:

Для второго игрока:

Решая эти две системы методом Гаусса, находим:

(вероятность применения 1-ой стратегии)

(вероятность применения 2-ой стратегии)

Для первого игрока самой оптимальной смешанной стратегией является стратегия .

(вероятность применения 1-ой стратегии)

(вероятность применения 2-ой стратегии)

Для второго игрока самой оптимальной смешанной стратегией является стратегия .

Запишем цену игры: .

Пример 2. Рассмотрим игру двух лиц с противоположными интересами.

Решение.

  1. Проверяем, существует ли седловая точка. Если да, то записываем решение игры в чистых стратегиях, как это было представлено ранее. Если седловой точки нет, решаем матричную игру при помощи графического метода.

Таблица 5

Игроки

a = min ()

4

7

4

9

3

3

b = max ()

9

7

Аналогично, как в первом примере определяем гарантированный выигрыш, который определяется нижней ценой игры a = max () = (4, 3) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию .

Верхняя цена игры b = min () = (9, 7) = 5.

Так как a b, можно утверждать, что седловая точка отсутствует, это означает, что цена игры находится в интервале 4 y 5. Найдем решение матричной игры в смешанных стратегиях (из-за того, что игрокам приходится случайным образом смешивать свои чистые стратегии, выигрыш игрока будет случайной величиной) [11].

  1. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Для решения будем использовать геометрический метод, состоящий из нескольких этапов.

1) В декартовой прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладываем отрезок длины 1. Левый конец отрезка, лежащий в точке х = 0, будет стратегией , а правый конец отрезка, лежащий в точке х = 1, — стратегией . Точки, лежащие в промежутках этого отрезка, соответствуют вероятностям некоторых стратегий

2) Выигрыши стратегии откладываем на левой оси ординат. А на прямой, параллельной оси ординат и проходящей через х = 1, откладываем выигрыши стратегии . Решение данной игры проводим с позиции игрока , который придерживается максиминной стратегии. Ни один игрок не имеет ни дублирующую, ни доминирующую стратегию. Определим нижнюю границу выигрыша . Точка N соответствует максиминной оптимальной стратегии игрока А, которая лежит на пересечении отрезков и . Для этих отрезков можно записать систему уравнений:

Запишем цену игры: .

Теперь найдем максимальную стратегию игрока В с помощью системы уравнений:

или

Решив, данную систему, получаем, что

https://math.semestr.ru/games/risgame.php?p=1&x=4,7&y=9,3&tx=-5,4&ty=1,1&r=1,1&b=4,7&fx=a5acf7a028afbd010f53ca596da7e25c&max=0

Рис. 2. Графический метод решения

Ответ: цена игры: , векторы стратегии игроков:

Пример 3. Рассмотрим игру двух лиц с противоположными интересами.

Решение.

  1. Проверяем, существует ли седловая точка. Если да, то записываем решение игры в чистых стратегиях, как это было представлено ранее. Если седловой точки нет, решаем матричную игру при помощи графического метода.

Таблица 6

Игроки

a = min ()

7

4

8

4

0

6

5

0

2

3

1

1

b = max ()

7

6

8

Аналогично, как в первом примере определяем гарантированный выигрыш, который определяется нижней ценой игры a = max () = (4, 0, 1) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию .

Верхняя цена игры b = min () = (7, 6, 8) = 6.

Так как a b, можно утверждать, что седловая точка отсутствует, это означает, что цена игры находится в интервале 4 y 6. Найдем решение матричной игры в смешанных стратегиях (из-за того, что игрокам приходится случайным образом смешивать свои чистые стратегии, выигрыш игрока будет случайной величиной) [11].

  1. Проверим матрицу на доминирующие строки и столбцы.

Считают, что k-ю стратегию первого игрока доминирует его i-я стратегия при условии, что . В таком случае говорят, что k-я стратегия является доминируемой, а i-я — доминирующей.

Считают, что l-ю стратегию второго игрока доминирует его j-я стратегия при условии, что В таком случае говорят, что l-я стратегия является доминируемой, а j-я — доминирующей.

Так как все элементы 1-ой строки больше или равны значениям 3-ой строки, то стратегия преобладает над стратегией , тогда, исключаем 3-ю строку матрицы.

Вероятность равна 0.

Таблица 7

7

4

8

0

6

5

У игрока В элементы первого столбца меньше элементов третьего столбца, следовательно, стратегия доминирует над стратегией ,тогда, исключаем 3-й столбец матрицы.

Вероятность равна 0.

Таблица 8

7

4

0

6

Таким образом, мы преобразовали игру 3 x 3 в игру 2 x 2.

Так как выбор чистых стратегий играми был произведен случайным образом, то и выигрыш первого игрока будет величиной случайной. В таком случае, при выборе смешанных стратегий игрок I должен руководствоваться получением максимального среднего выигрыша.

Аналогично, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I, игрок II должен учитывать этот момент при выборе своих смешанные стратегии.

  1. Находим решение игры в смешанных стратегиях [5].
  2. Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:
  3. Для второго игрока найдем min функции F(x) при ограничениях:

для игрока I — найдем max функции Z(y) при ограничениях:

Данную задачу решим симплексным методом, с помощью симплексной таблицы.

При следующих условиях — ограничениях

определим максимальное значение целевой функции .

Введением дополнительных переменных, систему неравенств приведем к системе уравнений (переход к канонической форме).

Решим полученную систему уравнений относительно базисных переменных:

Исходя из того, что свободные переменные равны 0, получим необходимый нам первый опорный план:

Y0 = (0,0,1,1)

Таблица 9

Базис

В

1

7

4

1

0

1

0

6

0

1

Z(Y0)

0

-1

-1

0

0

Перейдем к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

В индексной строке находятся отрицательные коэффициенты, следовательно, текущий опорный план не является оптимальным.

Так как, наибольший коэффициент по модулю в столбце переменной то данный столбец будем считать ведущим.

По строкам найдем значения .

Выбрав из них наименьшее — min (1: 4, 1: 6) = , определяем, что 2-ая строка является ведущей.

На пересечении ведущей строки и ведущего столбца находится равный 6 разрешающий элемент.

Таблица 10

Базис

B

min

1

7

4

1

0

1

0

6

0

1

Z(Y1)

0

-1

-1

0

0

Далее, при формировании следующей части симплексной таблицы, в плане 1 переменной заменим переменную .

У нас получилась новая симплекс-таблица:

Таблица 11

Базис

B

7

0

1

0

1

0

Z(Y1)

-1

0

0

Итерация №1.

В индексной строке находятся отрицательные коэффициенты, следовательно, текущий опорный план не является оптимальным.

Так как, наибольший коэффициент по модулю в столбце переменной то данный столбец будем считать ведущим.

По строкам найдем значения .

Выбрав из них наименьшее — min (: 7, -) = , определяем, что 1-ая строка является ведущей.

На пересечении ведущей строки и ведущего столбца находится равный 7 разрешающий элемент.

Таблица 12

Базис

B

min

7

0

1

0

1

0

-

Z(Y2)

-1

0

0

Далее, при формировании следующей части симплексной таблицы, в плане 2 переменной заменим переменную .

Мы получили новую симплекс-таблицу:

Таблица 13

Базис

B

1

0

0

1

0

Z(Y2)

0

0

Заметим, что индексная строка не содержит в себе отрицательных коэффициентов, а это значит, что найден идеальный план.

Поэтому, можно записать окончательный вариант симплекс-таблицы:

Таблица 14

Базис

B

1

0

0

1

0

Z(Y3)

0

0

Запишем оптимальный план:

Для нахождения оптимальный план двойственной задачи используем последнюю итерацию прямой задачи .

Это же решение можно получить и другим способом (с помощью теоремы двойственности).

Из этой теоремы следует, что .

Из компонентов векторов, которые входят в оптимальный базис, составим матрицу A

Через алгебраические дополнения определим обратную матрицу

Обратная матрица располагается в столбцах с дополнительными переменными, что можно заметить из последнего плана симплексной таблицы. Тогда

Находим оптимальный план двойственной задачи:

Так же найдем цену игры по формуле и вероятности применения стратегий игроками по формулам:

Цена игры:

Найдем оптимальную смешанную стратегию первого игрока:

Найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока:

В итоге, цена игры равна

Как видим, в матричной игре, выигрыш одного участника ее равен проигрышу другого. Но бывают случаи, когда, например, игроки преследуют разные цели или выигрыш одного не равен проигрышу другого, тогда моделью такой конфликтной ситуации будет является биматричная игра.

Биматричные игры — это конечные игры с ненулевой суммой. Где каждый игрок имеет конечное число стратегий. Так, например, первый игрок может выбрать любую из m своих стратегий, которые обозначим номерами i = 1, 2, …, m, а второй — одну из n своих стратегий, которые мы обозначим через номера j = 1, 2, …, n. Тогда если I участник выбрал свою i-ю стратегия, а II участник — свою j-ю, то в итоге первый будет иметь выигрыш , а второй — (условие, что =, необязательно).

Следовательно, конечная игра с ненулевой суммой будет представлена в виде двух равных платежных матриц (за счет чего и получила свое название):

А = и B = .

Простейшим примером биматричной игры может послужить ситуация на экзамене.

Студент А готовится к экзамену, который будет принимать преподаватель В. Студент имеет две стратегии: быть готовым к сдаче экзамена (+) и не быть готовым (-). Преподаватель так же имеет две стратегии: поставить зачет на экзамене [+] и не поставить [-]. Данную ситуацию можно представить в виде двух таблиц.

Таблица 15

Выигрыш студента

Выигрыш преподавателя

(+)

[+] Оценка заслужена

[-] Очень обидно

(+)

[+]Все нормально

[-]Был неправ

(-)

Удалось обмануть

Оценка заслужена

(-)

Дал себя обмануть

Опять придет

При участии в играх трех и более игроков, также может использоваться принцип решения биматричных игр [12].

Как видим, решить задачу — это значит найти оптимальные стратегии для участников. И наверно, одними из основных критериев оптимальности можно назвать рациональность, устойчивость и справедливость.

Но не все так просто. Существует фундаментальная проблема в теории игр, ее слабая сторона, которая, однако способствовала популяризации данной теории. Суть этой проблемы была сформулирована еще в 1950 году американскими математиками Мелвином Дрешером и Мерилом Фладоми, и в дальнейшем она получила название дилемма заключенного. Согласно этой теории, игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Считается, что «заключенный» пытается максимизировать собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других. То есть, согласно этой теории, каждый участник по отдельности окажется в выигрыше больше, если предаст. И естественно, все рациональные игроки выберут предательство. Но дилемма заключается в том, что по отдельности ведя себя рационально, участники все же оказываются в проигрыше: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали (единственное равновесие в этой игре не ведёт к Парето-оптимальному решению).

Но тем не менее, в последнее время теория игр получает все более широкое распространение. Ее методы решений конфликтных ситуаций раньше чаще всего применяли в экономике, чуть реже в политологии, социологии и других общественных науках. Сейчас она находит применение также в военном деле, экологии, информационных технологиях, математическом моделировании, в разработках искусственного интеллекта, кибернетики и др.

В нашей стране профильным институтом, занимающимся с 1976 года изучением теории игр, является Институт системного анализа РАН [11].

Литература:

  1. Шикин Е. В. От игр к играм. Математическое введение. — 2-е изд. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 112 с.
  2. Думачев В. Н. Основы теории управления: учебно-методическое пособие. — Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2015. — 384 с. URL: https://vimvd.ru/institute/structure/chairs/vm/methodical/asuz.pdf (дата обращения 25.03.2018).
  3. Игр теория. Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969–1978
  4. Задача об использовании ресурсов // zadocs.ru. URL: http://zadocs.ru/geograf/37097/index.html?page=4 (дата обращения: 25.03.2018).
  5. ТЕОРИЯ ИГР. Курс лекций // DOCPLAYER. URL: http://docplayer.ru/26535071-Teoriya-igr-kurs-lekciy.html (дата обращения: 25.03.2018).
  6. Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой. решение матричных игр со смешанными стратегиями. // HELPIKS.ORG. URL: http://helpiks.org/8–10605.html (дата обращения: 25.03.2018).
  7. Оуэн Г. Теория игр: Пер. с англ. / Под ред. А. А. Корбута. — 3-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с.
  8. ЛЕКЦИИ. ТЕОРИЯ ИГР // window.edu.ru. URL: http://window.edu.ru/resource/141/47141/files/sssu085.pdf (дата обращения: 25.03.2018).
  9. Матричные игры: примеры решения задач // function-x.ru. URL: https://function-x.ru/games_matrix_games.html (дата обращения: 25.03.2018).
  10. Седловая точка // math.semestr.ru. URL: https://math.semestr.ru/games/sedlopoint.php (дата обращения: 25.03.2018).
  11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР // http://venec.ulstu.ru. URL: http://venec.ulstu.ru/lib/disk/2016/150.pdf (дата обращения: 25.03.2018).
  12. Примеры биматричных игр // Студопедия. URL: https://studopedia.su/15_109771_primeri-bimatrichnih-igr.html (дата обращения: 25.03.2018).
Основные термины (генерируются автоматически): стратегия, игра, игрок, матричная игра, цена игры, решение игры, нулевая сумма, участник, верхняя цена игры, платежная матрица.


Похожие статьи

2 Общая теория матричных игр. Алгоритм.

Иначе цена игры находится в промежутке и решение игры находится в смешанных стратегиях.

В итоге получим решение матричной игры в смешанных стратегиях: , которое показывает вероятности использования стратегий игроками и цену игры.

Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft...

Поскольку нижняя цена игры (минимальный выигрыш игрока А) и верхняя цена игры (максимальный проигрыш игрока В) не равны, то модель данной задачи не имеет седловой точки.

Организация решения задач исследования операций в MATHCAD

4. Решение матричных игр в MathCAD. Матричные игры задаются платёжной матрицей , . В матричной игре участвуют два игрока.

Если , то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, а число называется значением (ценой) игры.

Математическое моделирование оптимальных стратегий...

Такие игры называются антагонистическими или играми двух лиц с нулевой суммой.

Так называемая цена игры для группы захвата равна -1,0.

Матричные игры в чистых стратегиях определенной размерности можно автоматизировать, например, в табличном процессоре MS...

Решение общей марковской игры путем аппроксимации ее игрой...

марковская игра, общая марковская игра, игра, шаг игры, игрок, стратегия, стационарный режим, нижнее значение, класс, значение игры.

Теоретико-игровая модель конкурентной борьбы за рынки сбыта...

Ключевые слова: теоретико-игровая модель, конкуренция, рынок сбыта продукции, матрица игры, платежная функция, оптимизационный подход, стратегия, равновесие.

Поиск решения как средство решения задач оптимизации...

Матричные игры в чистых стратегиях определенной размерности можно автоматизировать в табличном процессоре MS EXCEL. При этом используются встроенные функции: МАКС, МИН, ЕСЛИ и ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Марковская игра «Большой матч» в классе стационарных стратегий

1. Описание игры БМ. Игра БМ может быть представлена тремя формальными матрицами Г1, Г2 и Г3 следующим образом

На каждом шаге игры игроки оглашают свои решения с помощью монеты.

Технологическое проектирование содержания математической...

{«Антагонизм»; «Верхняя цена игры»; «Выигрыш»; «Доминирование»; «Графический метод решения»; «Аналитический метод решения»; «Игра»

Власов Д. А., Синчуков А. В. Стратегия информатизации методической системы математической подготовки бакалавров в России...

Похожие статьи

2 Общая теория матричных игр. Алгоритм.

Иначе цена игры находится в промежутке и решение игры находится в смешанных стратегиях.

В итоге получим решение матричной игры в смешанных стратегиях: , которое показывает вероятности использования стратегий игроками и цену игры.

Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft...

Поскольку нижняя цена игры (минимальный выигрыш игрока А) и верхняя цена игры (максимальный проигрыш игрока В) не равны, то модель данной задачи не имеет седловой точки.

Организация решения задач исследования операций в MATHCAD

4. Решение матричных игр в MathCAD. Матричные игры задаются платёжной матрицей , . В матричной игре участвуют два игрока.

Если , то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, а число называется значением (ценой) игры.

Математическое моделирование оптимальных стратегий...

Такие игры называются антагонистическими или играми двух лиц с нулевой суммой.

Так называемая цена игры для группы захвата равна -1,0.

Матричные игры в чистых стратегиях определенной размерности можно автоматизировать, например, в табличном процессоре MS...

Решение общей марковской игры путем аппроксимации ее игрой...

марковская игра, общая марковская игра, игра, шаг игры, игрок, стратегия, стационарный режим, нижнее значение, класс, значение игры.

Теоретико-игровая модель конкурентной борьбы за рынки сбыта...

Ключевые слова: теоретико-игровая модель, конкуренция, рынок сбыта продукции, матрица игры, платежная функция, оптимизационный подход, стратегия, равновесие.

Поиск решения как средство решения задач оптимизации...

Матричные игры в чистых стратегиях определенной размерности можно автоматизировать в табличном процессоре MS EXCEL. При этом используются встроенные функции: МАКС, МИН, ЕСЛИ и ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Марковская игра «Большой матч» в классе стационарных стратегий

1. Описание игры БМ. Игра БМ может быть представлена тремя формальными матрицами Г1, Г2 и Г3 следующим образом

На каждом шаге игры игроки оглашают свои решения с помощью монеты.

Технологическое проектирование содержания математической...

{«Антагонизм»; «Верхняя цена игры»; «Выигрыш»; «Доминирование»; «Графический метод решения»; «Аналитический метод решения»; «Игра»

Власов Д. А., Синчуков А. В. Стратегия информатизации методической системы математической подготовки бакалавров в России...

Задать вопрос