Автор: Дилмуродов Элёр Бахтиёрович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 12.05.2016

Статья просмотрена: 27 раз

Библиографическое описание:

Дилмуродов Э. Б. Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 5-7.



Пусть гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3]. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства дают некоторую информацию об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все её собственные значения.

В данной работе рассматривается симметричная матрица и исследован ее числовой образ в некоторых частных случаях.

Пусть — множество комплексных чисел. В пространстве рассмотрим матрицу вида:

размера , где — произвольные вещественные числа, а — произвольные комплексные числа.

При этих предположениях матрица является линейным ограниченным и симметричным оператором в

Лемма 1. Для числового образа матрицы имеет место равенство:

,

где собственные числа матрицы .

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы . Обозначим через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы а через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы . Тогда имеет место соотношение:

, ;

.

Очевидно, что квадратичная форма в единичной сфере достигает своего минимума при и достигает своего максимума при . Таким образом, .

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если , то имеет место равенство:

.

Доказательство. Допустим , тогда:

.

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения:

.

Отсюда следует, что для собственных чисел матрицы верно . В силу леммы 1 имеем:

.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если , то имеет место равенство:

,где .

Доказательство. Пусть . Тогда записывается как:

.

Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид:

(1)

Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее собственными числами. Таким образом, решение уравнения (1) приводится к решению уравнения:

и .

Отсюда следует, что:

.

Обозначим:

.

Из леммы 1 следует, что:

.

Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть , тогда , где

.

Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 3.

Рассмотрим пример.

Вычислить числовой образ матрицы:

Решение. Видно, что . Так как , , следуя доказательству леммы 3 найдем остальные две собственные числа матрицы :

; .

В силу леммы 3 имеем .

Литература:

  1. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
  2. Heydari M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
  3. Langer H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.
Основные термины (генерируются автоматически): собственному числу матрицы, образ матрицы, числа матрицы, место равенство, образ матрицы размера, числовой образ матрицы, соответствующий собственному числу, числового образа матрицы, собственные числа матрицы, Собственные числа матрицы, характеристического уравнения матрицы, собственных чисел матрицы, произвольные вещественные числа, частных случаях, произвольные комплексные числа, собственный вектор, числового образа линейного, нулями характеристического уравнения, числовым образом оператора, множество комплексных чисел.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос