Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 12.05.2016

Статья просмотрена: 40 раз

Библиографическое описание:

Дилмуродов Э. Б. Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 5-7. — URL https://moluch.ru/archive/114/29282/ (дата обращения: 17.08.2018).



Пусть гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3]. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства дают некоторую информацию об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все её собственные значения.

В данной работе рассматривается симметричная матрица и исследован ее числовой образ в некоторых частных случаях.

Пусть — множество комплексных чисел. В пространстве рассмотрим матрицу вида:

размера , где — произвольные вещественные числа, а — произвольные комплексные числа.

При этих предположениях матрица является линейным ограниченным и симметричным оператором в

Лемма 1. Для числового образа матрицы имеет место равенство:

,

где собственные числа матрицы .

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы . Обозначим через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы а через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы . Тогда имеет место соотношение:

, ;

.

Очевидно, что квадратичная форма в единичной сфере достигает своего минимума при и достигает своего максимума при . Таким образом, .

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если , то имеет место равенство:

.

Доказательство. Допустим , тогда:

.

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения:

.

Отсюда следует, что для собственных чисел матрицы верно . В силу леммы 1 имеем:

.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если , то имеет место равенство:

,где .

Доказательство. Пусть . Тогда записывается как:

.

Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид:

(1)

Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее собственными числами. Таким образом, решение уравнения (1) приводится к решению уравнения:

и .

Отсюда следует, что:

.

Обозначим:

.

Из леммы 1 следует, что:

.

Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть , тогда , где

.

Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 3.

Рассмотрим пример.

Вычислить числовой образ матрицы:

Решение. Видно, что . Так как , , следуя доказательству леммы 3 найдем остальные две собственные числа матрицы :

; .

В силу леммы 3 имеем .

Литература:

  1. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
  2. Heydari M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
  3. Langer H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.
Основные термины (генерируются автоматически): собственное число матрицы, числовой образ матрицы, доказательство леммы, лемма, характеристическое уравнение матрицы, числовой образ, собственный вектор, линейный оператор, гильбертово пространство, решение уравнения.


Похожие статьи

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения .

Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, решение, уравнение, вид, собственное число матрицы, число.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее...

Условия существования собственных значений одной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число, существенный спектр...

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

гильбертово пространство, собственное значение оператора, система уравнений, оператор, уравнение системы уравнений, квадратичный числовой образ, числовой образ оператора.

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора

. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения.

, . Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен. Лемма.

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в –мерном пространстве [1]. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения .

Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, решение, уравнение, вид, собственное число матрицы, число.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее...

Условия существования собственных значений одной...

собственное значение оператора, оператор, единственное собственное значение, блочно-операторная матрица, лемма, дискретный спектр, гильбертово пространство, вещественное число, существенный спектр...

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

гильбертово пространство, собственное значение оператора, система уравнений, оператор, уравнение системы уравнений, квадратичный числовой образ, числовой образ оператора.

Спектр и числовой образ одного интегрального оператора

. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения.

, . Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен. Лемма.

Некоторые свойства собственных чисел матрицы 2 × 2

Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в –мерном пространстве [1]. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Задать вопрос