Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора 
в комплексном гильбертовом пространстве 
с областью определения 
является изучение его числовой области значений:
.
Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2,3].
Рассмотрим интегральный оператор , действующий в гильбертовом пространстве 
квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
по формуле
, 
.
Легко можно проверить, что оператор , действующий в гильбертовом пространстве , ограничен и самосопряжен.
Лемма. Число 
является бесконечно кратным собственным значением оператора .
Доказательство. Рассмотрим уравнение
.
Оно эквивалентно уравнению
. (1)
Положим
.
Здесь число 
выбирается из условия
.
Простые вычисления показывают, что
.
Таким образом, функция
удовлетворяет условию (1). Положим
.
Здесь число
выбирается из условия
.
Простые вычисления показывают, что
.
Следовательно, функция
удовлетворяет условию (1). Далее, для любого натурального числа 
положим
,
где константа 
найдется из условия
.
Обсуждая аналогично, имеем
.
Полученная последовательность функций 
линейно независимо. Это означает, что число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Лемма доказана.
Теперь изучаем дискретный спектр оператора . С этой целью рассмотрим уравнение для собственных значений, т. е.
.
Это уравнение записывается в следующем виде:
. (2)
Так как 
из равенства (2) для 
находим
, (3)
где
. (4)
Подставляя полученное выражение (3) в равенства (4) имеем, что число
является простым собственным значением оператора .
Отсюда следует, что
.
Верна следующая теорема.
Теорема. Для числового образа 
оператора 
имеет место равенство
.
Литература:
- O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — P. 187–197.
- H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., — 2001, — V. 330, — no. 1–3, P. 89–112.
- L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, — 2011, V. 71, — P. 245–257.
