Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

В квантовой теории поля встречаются интегральные операторы вида

, (1)

где ограниченные функции на . В монографии К. О. Фридрихса [1] описана типичная ситуация, приводящая к операторам вида (1). Аналогичные операторы встречаются, например, в работах [2, 3, 4] и др. С другой стороны, изучение разрешимости частных интегральных уравнений вида , в пространстве , где - заданная функция из , является важным при исследовании спектра решетчатых гамильтонианов много частичной системы [5, 6] и интересным с математической точки зрения. Надо отметить, что в 1975 г. Л. М. Лихтарников и Л. З. Витова [7] впервые начали изучать спектральные свойства частично интегральных операторов. В работе [7] исследован спектр самосопряженного частично интегрального оператора с ядрами из гильбертово пространства .

В данной работе подробно изучаются спектр и резольвента одного ограниченного самосопряженного частично интегрального оператора.

Рассмотрим частично интегральный оператор , заданный в гильбертовом пространстве по правилу

,

где - вещественно значная непрерывная функция на . Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Всюду в работе через обозначена норма элемента из .

Следующая теорема описывает множество собственных значений оператора и их кратность.

Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

.

Видно, что функции вида , где любая функция, а функция ортогональна к функции . Очевидно, что подпространство таких функций

имеет размерность равный бесконечности. Поэтому число является бесконечнократным собственным значением оператора .

Пусть теперь . Рассмотрим уравнение или

. (2)

Так как , из уравнения (2) для имеем

, (3)

где

. (4)

Подставляявыражение (3) для в равенству (4) получим, что уравнение (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

Если , то в силу равенства (3) имеем . Это противоречие показывает, что , т. е. число является собственным значением оператора и соответствующая собственная функция имеет вид , где произвольная функция. Теорема 1 доказана.

Таким образом имеет места равенства

.

Теперь сформулируем результат о явном виде резольвенты оператора .

Теорема 2. При каждом фиксированном резольвента оператора определяется следующим образом:

.

Доказательство. Пусть . Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение для любых , т. е.

. (5)

Так как , из уравнения (5) для имеем

, (6)

или

.

Учитывая соотношение , для имеем

Далее, подставляя полученное выражение для в равенство (6) приходим к равенству , . Теорема 2 доказана.

Литература:

1. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
2. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами // Украинский математический журнал, 1973, Т. 25, № 3, С. 302–312.
3. J. Appell, E. V. Frolova, A. S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. Partial integral operators on // Integral Equations and Operator Theory, 1997, V. 27, No. 2, P. 125–140.
4. А.S. Kalitvin and P. P. Zabjenko. On the theory of partial integral operators // J. Integral Equations Appl., 1991, V. 3, No. 3, P. 351–382.
5. D. Mattis. The few-body problem in a lattice // Rev. Modern Phys., 1986, V. 58, No. 2, P. 361–379.
6. А.I. Mogilner. Hamiltonians in solid-state physics as multi-particle discrete Scroedinger operators: problems and results // Adv. Soviet Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991, V. 5, P. 139–194.
7. Л. М. Лихтарников, Л. З. Витова. О спектре интегрального оператора с частными интегралами // Литовск. Матем. Сб., 1975, Т. 15, № 2, С. 41–47.