Один из классических методов изучения спектра линейного оператора 
в гильбертовом пространстве 
— это изучение числового образа этого оператора [1]:
,
здесь 
есть область определения оператора . Если — ограниченный оператор, то 
. Известно, что точечный спектр 
оператора лежит в 
, а аппроксимативно точечный спектр 
оператора содержится в 
. Если замкнутый оператор и всякая компонента множества 
содержит хотя бы одну точку резольвентного множество 
оператора , то имеет место включение 
(
-множество комплексных чисел). В силу теоремы Тёплица — Хаусдорфа числовой образ является выпуклым подмножеством множества . С одной стороны, свойства выпуклости является важным свойством, например, при доказательстве принадлежности спектра в полуплоскость. Но, числовой образ иногда дает недостаточно хорошую структуру, если спектр состоит из объединения двух не пересекающихся множеств.
Учитывая этих неудобств, в работе [2] введено понятие квадратичного числового образа и затем изучены в работах [3,4]. Оно определено, если дано разложение 
гильбертово пространство и 
, здесь 
и 
гильбертово пространства. Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера 
(1)
с линейными операторами 
, 
. Для неограниченного линейного оператора в , его область определении необязательно должна быть разложимой как 
c 
, 
и следовательно, это дополнительное предложение, того что оператор имел представление (1) такое, что
.
Пусть 
, 
— скалярное произведение и норма в 
, 
, соответственно.
Множество всех собственных значений матрицы
таких, что
и 
, называется квадратичным числовым образом оператора , соответствующий представлению (1) блочно-операторной матрицы и обозначается через 
, т. е.
Для двух различных разложений гильбертово пространства , могут соответствовать различные квадратично числовые образы.
Обозначим через 
— множество всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.
Пусть 
— 
— мерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
.
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично — интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
Обозначим через прямую сумму пространств 
и 
, т. е. .
Гильбертово пространство обычно называется двухчастичным обрезанным подпространством фоковского пространства.
В данной статье рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица (1), где элементы 
, определяются по формулам
, 
, 
, 
(2)
здесь 
; 
фиксированные вещественные числа, 
вещественнозначная непрерывная функция на , а 
сопряженный оператор к 
. При этом оператор называется оператором уничтожения, а 
называется оператором рождения.
Можно проверить, что при таких предположениях операторная матрица , определенный по формуле (1) с матричными элементами (2), является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .
Следующая теорема описывает спектр оператора
.
Теорема 1. Для спектра оператора имеет место равенство 
, т. е. оно имеет чисто точечный спектр, где, 
— бесконечнократное собственное значение, а 
и 
— простые собственные значения.
Следующие две теоремы дают информации о квадратичном числовом образе оператора .
Теорема 2. При 
, имеет место равенство 
.
Для формулировки второго основного результата работы введем следующие множества:
Теорема 3. Если 
, то имеет место равенство 
, причём 
.
Отметим, что в работе [5] при всех размерностях тора подробно исследованы числовой образ 
обобщенной модели Фридрихса в терминах матричных элементов. Выделены случаи, когда множество замкнуто. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр оператора совпадал с множеством . А связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением изучена в работе [6].
Литература:
- O.Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer. Math. Z., 1918, vol. 2, no. 1–2, pp. 187–197.
- H.Langer, C.Tretter. Spectral decomposition of some nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2 (1998), 339–359.
- H.Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C.Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
- H.Langer, A. S. Markus, C.Tretter. Corners of numerical ranges. In Recent advances in operator theory (Groningen, 1998), vol. 124 of Oper. Theory Adv. Appl., 385–400 (Birkhauser, Basel, 2001).
- Т. Х. Расулов, Э. Б. Дилмуродов. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Сам. гост. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 50–63.
- Т. Х. Расулов, Э.Дилмуродов. Оценки для квадратичной числовой области значений одной операторной матрицы. Узбекский математический журнал. № 1 (2015), С. 64–74
