Пусть — комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество

называется числовым образом оператора

Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества дает некоторые информации об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1]. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2–4].

Пусть - -мерный тор с условием и — гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через прямую сумму пространств и , т. е. .

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица

,

где матричные элементы , определяются по формулам

,

Здесь , , и вещественнозначные непрерывные функции на , а сопряженный оператор к . Оператор называется оператором уничтожения, а называется оператором рождения.

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство , где числа и определяются следующим образом: , .

Определим регулярную в функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором A)

.

Тогда оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Далее, в случае существовании собственных значений оператора обозначим их через , . Для определенности предположим, что и .

Пусть −фиксированное натуральное число. На протяжении всей работы будем предполагать, что функция имеет невырожденный минимум в точках , .

Пусть

,

, .

Так как функция имеет невырожденный минимум в точках , , существуют числа , , и такие, что

, , ; (1)

, . (2)

Имеет место равенство

(3)

Учитывая неравенства (1) и непрерывность функции на имеем, что - тое () слагаемое в правой части (3) оценивается следующим образом:

.

Переходя в сферическую систему координат убедимся, что последний интеграл конечна. конечность последнего слагаемого в правой части (3), т. е. интеграл по вытекает из непрерывности функции на и неравенства (2).

Положим

.

Следующая теорема описывает структуру числового образа оператора .

Теорема. Пусть .

1) Если , то верно равенство .

2) При имеет место равенство .

Литература:

1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer. Math. Z., 2:1–2 (1918), 187–197.
2. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
3. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators. Integr. Equ. Oper. Theory, 71 (2011), 245–257.
4. M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets. Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.