Теорема о спектральном разложении самосопряженных линейных операторов, по мнению многих авторов, является одной из самых удачных математических абстракций. Она имеет множество приложений в функциональном анализе и в математической физике и играет существенную роль в обосновании квантовой механики. С тех пор как эта теорема была впервые доказана Д. Гильбертом, ее содержание значительно расширилось. В настоящем сообщении построено спектральное разложение симметрического оператора, порожденного в гильбертовом пространстве, функций суммируемых с квадратом модуля, некоторой обобщенной квазидифференциальной операцией.
Рассмотрим симметрический оператор , действующий в гильбертовом пространстве
и имеющий плотную в пространстве
область определения
. Оператор
не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора
. В общем случае
.
Функция , определенная для любого вещественного
, называется спектральной функцией оператора
, если выполнены следующие условия:
а) для любого вещественного
есть позитивный оператор;
б) для любого элемента гильбертова пространства
в котором рассматриваются
и
,
не убывает при возрастании параметра
;
в) для любого элемента гильбертова пространства
есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра
;
г) для любого элемента гильбертова пространства
, если
, и
, если
. Причем эти предельные соотношения рассматриваются в смысле нормы элемента;
д) если — любой конечный промежуток и
- любой элемент из пространства
, то имеют место соотношения:
(1)
где .
1. Спектральная функция называется ортогональной, если есть оператор ортогонального проектирования при любом вещественном значении
. Если оператор
- самосопряженный, то он имеет только одну спектральную функцию и она — ортогональна. Обратно, всякая ортогональная спектральная функция однозначно определяет самосопряженный оператор
. Если же оператор
несамосопряженный, то он имеет неортогональные спектральные функции.
Согласно известной теореме М. А. Наймарка, для любой спектральной функции оператора
существует в некотором гильбертовом пространстве
такое самосопряженное расширение
оператора
, что ортогональная спектральная функция
оператора
связана с
формулой
(2)
где — оператор ортогонального проектирования.
Учитывая (1), можно рассматривать равенство
(3)
как разложение по обобщенным собственным элементам оператора .
Для спектральных функций симметрического оператора
, действующих в абстрактном гильбертовом пространстве, показано, что и в этом случае имеются «краевые условия», зависящие от параметра
, которым удовлетворяют обобщенные собственные элементы оператора
, участвующие в разложении (3).
Пусть — какое-либо разложение единицы в
, а
и
— фиксированные вещественные числа. Обозначим через
линейное многообразие векторных функций
, принимающих значения в гильбертовом пространстве
и допускающих представление
, где
— произвольные непрерывные комплекснозначные функции параметра
, а
— произвольные элементы из пространства
. Для различных векторных функций эти элементы и их число могут быть разными.
Для любых вектор-функций существует интеграл
, (4)
где .
Введем в рассмотрение совокупность вектор-функций
, которые принимают значения в пространстве
, и, кроме того, удовлетворяют следующему условию: при любом
для функции
существует такая функция
, что выполняется следующее условие:
, где
и
имеют прежний смысл. Множество
является, очевидно, линейным многообразием и вместе с векторной функцией
ему принадлежит также
, какова бы ни была непрерывная комплекснозначная функция
. Легко убедиться, что при любых
и
из совокупности
существует интеграл (4).
Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение векторных функций
и
, то
превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное. Пополнение пространства
является, очевидно, пополнением и для пространства
в этой же метрике. Заметим, что пополнение пространства
совпадает по существу с пространством
, которое можно использовать при оценке кратности спектра самосопряженного расширения оператора
[1].
Лемма. Если есть спектральная функция симметрического оператора
, то для любых вектор-функций
,
существует операторный интеграл Стилтьеса
и имеет место формула
=
.
2. Пусть матрица имеет размерность
и составлена из комплекснозначных функций, определенных на интервале
и удовлетворяющих следующим условиям:
(i) в интервале
для индексов, удовлетворяющих неравенствам
;
(ii) — локально суммируемы, т. е.
для
;
(iii) в
для
.
Определим квазипроизводные следующим образом:
.
Этот подход к определению квазипроизводных и соответствующего формально самосопряженного квазидифференциального выражения предложен в работе [2]. В дальнейшем предполагаем, что функции и их квазипроизводные до
- го порядка включительно абсолютно непрерывны на любом компактном подынтервале промежутка
. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только симметрические квазидифференциальные выражения, то предположим, что матрица
, кроме требований (i), (ii) и (iii), удовлетворяет также условию симметричности:
, где
— матрица, сопряженная к матрице
,
— символ Кронекера. Легко убедиться, что
, где
— натуральное число. Матрица
— косоэрмитова, если натуральное число
— четно, а матрицы
— косоэрмитовы, если натуральное число
— нечетно. Можно считать, что скалярное дифференциальное выражение
, где
— мнимая единица, порождается матрицей
. Квазидифференциальная операция
определяет минимальный замкнутый симметрический оператор
в гильбертовом пространстве
.
Пусть, например, симметрический квазидифференциальный оператор с минимальной областью определения в пространстве
, порожденный квазидифференциальным выражением
порядка
. Концы рассматриваемого промежутка
не предполагаются регулярными, т. е. могут быть сингулярными. В этом случае формула (3) реализуется в виде разложения по решениям уравнения
, (5)
Решения уравнения (5) играют роль обобщенных собственных элементов оператора .
Для любых функций и
, к которым применима квазидифференциальная операция
, имеет место обобщенная формула Лагранжа
, (6)
где . Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина
,
где . Пусть
— квазипроизводные функции
, а
, составленный из этих квазипроизводных, — вектор-столбец. Заметим, что
, где
— скалярное произведение в
- мерном евклидовом пространстве. Матрица
, если
- четно, и
, если
— нечетно, позволяет тождество Лагранжа можно переписать в виде
.
Теорема 1. Пусть — матрица-функция, удовлетворяющая условиям: (i), (ii), (iii). Квазидифференциальная операция
задана обычным образом. Дополнительно предположим, что функции
— локально суммируемы на рассматриваемом промежутке. Кроме того, предположим, что функция
положительна на промежутке
. Тогда для любого комплексного числа
, любого вещественного числа
и любых комплексных чисел
, существует единственное решение
, заданное на промежутке
, начальной задачи
при условии
.
Доказательство в целом повторяет рассуждения, приведенные в [3, 4].
Теорема 2. Пусть ,
, матрица
, удовлетворяет требованиям (i) — (iii) и условию симметричности. Тогда для любых комплексных чисел
существует функция
, принадлежащая области определения
операции
, такая что
3. Как известно, каждой спектральной функции оператора
отвечает некоторая обобщенная резольвента , определяемая формулой
.
При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по обобщенной резольвенте
; для любых функций
и
из
и любых вещественных
и
имеет место равенство:
. (7)
Равенство (7) позволяет построить формулу всех спектральных функций оператора
.
Пусть — какая-либо обобщенная резольвента оператора
и
— ее характеристическая матрица. При любых вещественных
определим матрицу
формулой
. (8)
Формула (8) имеет смысл при любом вещественном и
является неубывающей матричной функцией. Матрицу
называют спектральной функцией распределения оператора
, соответствующей обобщенной резольвенте
.
Пусть — гильбертово пространство
- мерных векторных функций
, которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве
определяется формулой
.
Теорема 3. Для любой функции имеет место равенство
, где
; а несобственный интеграл
сходится в смысле метрики пространства
.
Литература:
1. Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве // Исследования по функциональному анализу и его приложениям.- М.: Наука, 2006. С. 293–344.
2. Everitt, W. N. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1: The general theory / W. N. Everitt, A. Zettl // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. — V. 27, № 3. — P. 363–397.
3. Филиппенко В. И. Обобщенные резольвенты неплотно заданного квазидифференциального симметрического оператора // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, 5–11 сентября 2006 года. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006. — С. 167–169.
4. Фетисов В. Г. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография [Текст] / В. Г. Фетисов, В. И. Филиппенко. — Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.