Пусть 
— минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный формально самосопряженным дифференциальным выражением
(1)
в гильбертовом пространстве 
вектор-функций 
, рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением
.
Коэффициенты 
и 
выражения (1) — эрмитовы матрицы-функции, причем невырождена и абсолютно непрерывна на
; суммируема на любом сегменте 
. Пусть 
и 
— вектор-функции, для которых выражение (1) имеет смысл. Тогда имеет место аналог тождества Лагранжа:
. (2)
С помощью стандартных рассуждений (см. например, [1]) можно показать, что максимальный оператор, порожденный в пространстве дифференциальным выражением (1), является сопряженным оператору 
. Обозначим его символом 
. Принимая во внимание тождество (2), область определения 
оператора можно охарактеризовать как линейное многообразие тех вектор-функций 
, которые для любой вектор-функции 
удовлетворяют условию 
.
В этой работе исследуется кратность спектра самосопряженного расширения 
оператора , порожденного операцией 
в гильбертовом пространстве .
Стандартным образом (cм., например, [1]) можно построить обобщенную резольвенту
оператора , которая при любом невещественном 
является интегральным оператором вида 
, где 
— матричное ядро
,
а 
— фундаментальная матрица однородной системы 
, удовлетворяющая условию 
(
); 
— характеристическая матрица-функция оператора ; 
. Обобщенная резольвента — симметрического оператора допускает представление вида 
, где 
обобщенная спектральная функция оператора . Положим
.
При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте. Для любых вектор-функций и из и любых вещественныx 
и 
имеет место равенство:
,
позволяющее получить формулу всех спектральных функций оператора :
, (3)
где 
— спектральная матрица-функция распределения оператора , 
.
Подпространство 
называется порождающим подпространством самосопряженного оператора со спектральной функцией 
, если замыкание линейной оболочки множества 
, где 
пробегает совокупность всех интервалов числовой оси, совпадает с . Кратностью спектра самосопряженного оператора 
называется минимальная размерность порождающего подпространства этого оператора.
Известно (cм., например, [2, 3]), что совокупность всех обобщенных резольвент симметрического оператора в гильбертовом пространстве 
определяется формулой 
, где 
— любое самосопряженное расширение оператора в некотором объемлющем пространстве 
— единичный оператор в 
, а 
— оператор проектирования в на . Введем обозначения: 
. Тогда имеет место
Лемма 1. Пусть 
— вектор-функция, удовлетворяющая условиям: представима в виде 
, где 
— квадратная матрица, столбцами которой служат вектор-функции 
, а 
— вектор-функция, удовлетворяет условию Липшица. Кроме того, при любом 
.
Тогда для любого
и любого
имеет место равенство
, (4)
где 
определяется формулой (3).
Соотношения (2) и (4) приводят к следующей лемме.
Лемма 2. Пусть при любом 
система уравнений 
имеет решение 
такое, что;
1. 
, где 
;
2. для любой вектор-функции 
3. при фиксированном 
вектор-функция 
удовлетворяет условию Липшица относительно на сегменте 
. Тогда при любых 
,
(5)
Теорема 1. Пусть при любом система имеет 
линейно независимых решений
(6)
таких, что:
1. для каждого из 
первых решений (6) выполняются условия:
а) 
;
б) для любой вектор-функции 
;
2. для каждого из 
последних решений (6) выполняются условия:
а) 
;
б) для любой вектор-функции 
;
3. каждая из вектор-функций (6) при фиксированном удовлетворяет условию Липшица относительно на сегменте 
.
Тогда кратность части спектра самосопряженного расширения оператора , заключенной в сегменте , не превосходит 
.
При доказательстве теоремы существенно используется соотношение (5).
Замечание. Если оператор с минимальной областью определения, порожденный операцией 
в пространстве 
является самосопряженным, то условия 1. б и 2. б можно опустить. В частности, такая ситуация складывается, если выполняются условия
Пусть конец 
промежутка регулярен. Как известно, самосопряженное расширение 
в симметрического оператора называют минимальным, если подпространство 
, такое что
, и ни одно его подпространство, отличное от нулевого пространства не приводит 
. Имеет место теорема 2.
Теорема 2. Пусть сегмент не содержит собственных значений оператора и при любом система уравнений имеет 
линейно независимых решений 
таких, что:
1. 
2. для каждой вектор-функции 
3. каждая из вектор-функций 
при фиксированном 
удовлетворяет условию Липшица относительно на сегменте . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора 
, заключенной в сегменте не превосходит .
Теоремы 1 и 2 позволяют судить о характере спектра самосопряженных расширений оператора на основе поведения коэффициентов дифференциального выражения (1) в окрестности сингулярных концов промежутка 
.
Введем обозначения: 
- собственные значения матрицы 
. минимальное самосопряженное расширение оператора , порожденного выражением (1) в пространстве 
. Предположим, что 
при 
и 
число 
можно брать произвольно большим.
Теорема 3. Пусть при любом матрицы и
, таковы, что:
1. матрица имеет конечный предел на бесконечности 
, причем предельная матрица имеет различные собственные значения;
2. матрицы 
и абсолютно интегрируемы на промежутке 
;
1. собственные значения матрицы просты, отличны от нуля и асимптотически разделены, т. е. 
не равно нулю для различных индексов.
Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте 
не превосходит , где число собственных значений матрицы 
, лежащих в левой полуплоскости.
Теорема 4. Пусть при любом :
1. матрицы 
и согласованы, т. е. 
и 
, где 
— диагональная матрица с элементами 
(
постоянные), 
и 
— комплекснозначные функции, 
для 
;
2. матрица подчинена матрице при намного большем, чем единица, т. е. 
;
3. предел 
существует и конечен, матрица 
невырождена и имеет различные собственные значения 
4. 
и 
при 
намного большем, чем единица;
5. 
, где 
. Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте не превосходит , где - число собственных значений матрицы , удовлетворяющих условию 
.
Литература:
1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.
2. Фетисов В. Г., Филиппенко В. И. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография. Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.
3. Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве //Исследования по функциональному анализу и его приложениям. — М.: Наука, 2006. С. 293–344.
