Введение
Хорошо известно, что интегральные операторы с ядрами Пуассона и Коши проектируют классы Гельдера на единичной окружности на соответствующие классы аналитических функций ([1], [2]) На этом основаны многие вопросы математической физики (теория краевых задач типа Привалова, Гильберта, Римана и т. д.) ([1], [2]) Однако во многих задачах комплексного и функционального анализа возникает потребность проектирования более широких классов функций, заданных на том или ином множестве на соответствующие пространства аналитических функций.
В последние годы появляется много работ российских и зарубежных математиков посвященных проектированию 
пространства суммируемых функций на весовые пространства Бергмана. Эти вопросы изложены в известных монографиях ([3], [4]) В этой статье мы продолжаем исследование по проблематике, изложенной в работе [5]. Впервые было замечено, что интегральные операторы с ядрами Бергмана проектируют классы измеримых в единичном круге функций, производная которых по углу суммируема, отображается на пространства аналитических функций удовлетворяющих такому же условию.
В этой статье мы докажем близкие теоремы в том случае, когда производная по одному направлению, скажем по радиусу, имеет определенный рост при приближении к единичной окружности (в случае полуплоскости — к вещественной оси)
Формулировка и доказательство основных результатов статьи
Для формулировки доказательства основных результатов введем следующие обозначения.
Пусть 
- комплексная плоскость, 
- верхняя полуплоскость, т. е. 
, 
— единичный круг на комплексной плоскости , 
– множество всех аналитических функций в D. Пусть далее 
— множество аналитических функций в
,
— ядро Бергмана для круга порядка 
, а
— ядро Бергмана для полуплоскости порядка ,
где 
. (1)
где
Если 
- монотонно возрастающая положительная функция на 
, а 
— множество измеримых функций на измеримом множестве E, то
,
где 
— некоторое положительное число, зависящее только от
, φ — некоторая монотонно растущая положительная функция на 
, 
— неотрицательное целое число, то есть 
Как указывалось выше, такие операторы были исследованы в пространствах суммируемых функций ([3], [4]). Мы изучаем поведение этих операторов в следующих пространствах суммируемых функций:
, (2)
Определение. Скажем, что функция 
принадлежит классу 
, если существует положительное число 
, такое что: 
и 
и φ удовлетворяет оценке 
, при всех 
и при некотором 
.
Основной результат статьи являются доказательство следующих двух утверждений.
Теорема 1.Пусть функция интегрируема в 
и такая, что 
и 
принадлежат классу 
, при некотором
, где 
. Тогда 
тоже принадлежит классу 
.
Теорема 2. Пусть - интегрируема в и такая, что и 
принадлежат классу 
при котором . Тогда функция 
принадлежит классу
т. е. оператор отображает пространство функций n-ая производная, которых принадлежит классу на пространство .
Доказательство теоремы 1
Пусть функция 
— удовлетворяет условию:
Докажем, что аналогичная оценка справедлива для функции 
.
Указанную оценку мы получим при 
, при 
основные рассуждения сохраняются, появляются только технические сложности.
Итак, пусть . Заметим, что указанный интеграл (1) абсолютно сходится, если 
и 
. Действительно, имеем
,
В последней оценке мы воспользовались тем, что 
. Учитывая также оценку
окончательно получим:
,
где 
- постоянное число, зависящие только от и 
.
Перейдем к оценке функции 
.
Вычисляя производную функции 
получаем:
.
Преобразуем внутренний интеграл, интегрируя его по частям и учитывая, что 
получим:
Тогда
Введем следующие обозначения:
Следующая оценка 
получается стандартным образом (см. [5])
Перейдем к оценке 
. Для этого сначала оценим ,учитывая, что 
Имеем
Отсюда получаем
Сделаем замену переменной в последнем интеграле, 
получим
(3)
В последней оценке мы воспользуемся тем, что функция 
. Вернемся к оценке . Не ограничивая общность, можно предположить, что 
.
Тогда получим:
(4)
Интеграл 
оценивается стандартным образом (см. [3], стр.106). Другими словами нетрудно установить, что
(5)
Для доказательства теоремы 1 остается получить соответствующую оценку для
Учитывая оценку (3) имеем:
.
Следовательно,
Применяя рассуждения, используемые при доказательстве результатов в работе [5] отсюда окончательно получаем:
(6)
Объединяя оценку (4),(5), (6) получаем:
(7)
где 
Но поскольку функция 
принадлежит классу , то из оценки (7) немедленно следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2 проводится, аналогичным образом, учитывая свойства ядра Бергмана 
для полуплоскости.
Замечание. Используя интегральное представление аналитической функции по свойствам ядра Бергмана через вещественную часть и классические теоремы Привалова и Харди — Литлвуда из теоремы 1 и теоремы 2 сразу следует, что, если гармоническая функция и в замкнутом круге имеет модуль непрерывности 
, то гармонические сопряженные функции будут иметь такой же модуль непрерывности в замкнутом круге, если ω удовлетворяет хорошо известному условию Бари — Стечкина (см. [6]).
Литература:
1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.-Л. Гостехиздат. 1946г. 448с.
2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1977г.
3. Djrbashian M. M., Shamoyan F. A. Topics in theory of 
spaces, Teubner — Verlag, Leipzig, 1988.
4. H. Hedermalm, B. Korenblum, K. Zhu. Theory of Bergman spaces, Springer — Verlag New York, 2000.
5. М. Н. Андрейчик, Е. В. Коптенок, А. А. Орлова Интегральные операторы с ядрами типа Бергмана в пространствах аналитических функций, с заданным модулем непрерывности // Молодой ученый. — 2013. — № 8 (55) — с.1–5.
6. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // ТММО, Том 5, 1956.
