Введение
Интегральные операторы с ядрами типа Бергмана интенсивно исследовались в последние несколько десятилетий. В течение этого периода по этим вопросам уже опубликованы четыре монографии ([1], [2], [3], [4]). Эти исследования в основном проводились в 
весовых пространствах аналитических и гармонических функций.
В этой статье исследуется поведение этих операторов в пространствах ограниченных в единичном круге функций, для которых n-ная производная (
) по одному направлению (либо по радиусу, либо по углу) удовлетворяет определенным оценкам при приближении к единичной окружности. В данной работе, в частности установили, что если непрерывная функция у которой n-ная производная по одному направлению (либо по радиусу, либо по углу) имеет степенной рост порядка 
, то после проектирования на пространство Бергмана, получим аналитическую функцию в единичном круге, удовлетворяющую условию Гельдера порядка 
в замкнутом круге. Это показывает, что оператор Бергмана улучшает поведение функции довольно существенно.
Для изложения основных результатов введем следующие обозначения.
Пусть 
— единичный круг на комплексной плоскости 
, φ — некоторая монотонно растущая положительная функция на 
, 
— неотрицательное целое число, то есть 
, H(D) — множество голоморфных функций в 
, введем также обозначение
, (1)
где 
— некоторое положительное число, зависящее только от 
.
Определение. Пусть 
— некоторая монотонно возрастающая функция на 
, причем 
. Скажем, что функция принадлежит классу 
, если существует положительное число 
, такое что: 
и 
.
Через 
обозначим ядро типа Бергмана порядка s, 
— интегральный оператор с ядром типа Бергмана 
. Таким образом, если 
измерима в 
, при этом 
при некоторых γ>0, то интегральный оператор 
, определяем следующим образом:
где 
,
который отображает множество таких функций в множество 
.
Поэтому если φ удовлетворяет оценке 
, при некоторых γ и 
тогда интегральный оператор типа Бергмана отображает пространство 
, то есть 
, в пространство 
, где 
— пространство всех измеримых функций в .
Формулировка и доказательство основных результатов статьи
Основными результатами статьи является доказательство следующих двух теорем.
Теорема 1. Пусть функция интегрируема в и такая, что 
и 
принадлежат 
, при некотором 
. Тогда 
принадлежит классу 
.
Теорема 2. Пусть функция интегрируема в и такая, что и 
принадлежат , при некотором 
. Тогда 
принадлежит классу 
.
Следующая лемма хорошо известна (см. [1]).
Лемма. Пусть s>1, тогда 
. (2)
Перейдем к доказательству основных результатов. Сначала докажем теорему 1. Будем предполагать, что 
, поскольку при 
основные идеи доказательства сохраняются, возникают только технические трудности.
Итак, пусть 
и 
— достаточно большое положительное число. Докажем, что 
принадлежит пространству 
.
Имеем
, где 
.
Найдем производную функции 
, переходя к полярным координатам, получим:
.
Рассмотрим внутренний интеграл 
, проинтегрируем его по частям, получим:
В последнем равенстве использовали 2π-периодичность подынтегральной функции.
Итак, 
Пусть 
. Тогда применив оценку (1), получим:
.
Следовательно, 
.
Для оценки внутреннего интеграла применим Лемму:
.
Оценим каждый интеграл по отдельности.
Так как 
интеграл по интервалу 
, то на этом интервале 
, то 
, тогда:
Перейдем к оценке интеграла
, имеем: 
Сделаем замену переменных: 
, тогда: 
. В последней оценке мы воспользовались условием на 
.
Так как 
— интеграл по интервалу 
, то 
, то есть 
.
Поэтому:
Перейдем к оценке последнего интеграла, для этого сделаем замену переменных: 
тогда: 
.
Будем предполагать, что s — достаточно большое число, 
. Интегрируя по частям получим:
Поскольку ,то 
при 
, поэтому получим:
Следовательно:
Отсюда имеем:
(**)
Поэтому:
Пусть теперь s удовлетворяет условию 
, тогда:
Учитывая (**), получаем: 
, следовательно:
.
Объединяя оценки 
и 
, получаем доказательство теоремы: 
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1, но при этом учитывается, что под интегралом стоит функция 
с достаточно большим значением . Аналогично как при доказательстве теоремы 1 мы получим утверждение теоремы 2.
Замечание.
В монографии [5] (стр. 252) установлено, что если функция принадлежит Гёльдеровскому классу непрерывных функций, то так же принадлежит этому классу. В отличие от этой работы теоремы 1,2 устанавливают, что не только Гёльдеровские классы непрерывных функций отображаются в Гёльдеровские классы аналитических функций, но и более общие классы. То есть, если 
принадлежат классу , то 
.
Литература:
1. Djrbshian M. M., Shamoyan F. A. Topics in theory of 
spaces, Teubner — Verlag, Leipzig, 1988, pp.200.
2. H. Hedermalm, B. Korenblum, K. Zhu. Theory of Bergman spaces, Springer — Verlag New York, 2000.
3. P. L. Duren, A. S. Sсhuster, Bergman spaces, Amer. math. Soc. Providence, 2004, pp. 100.
4. K. Seip Interpolating and Sampling in spaces of analytic functions, Amer. math. Soc. Providence, 2004, pp. 180.
5. K. Zhu. Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Springer — Verlag New York, 2005.
