Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 2 августа, печатный экземпляр отправим 6 августа
Опубликовать статью

Молодой учёный

Об одном представлении функции многих переменных, имеющей невырожденный минимум

Математика
26.01.2017
30
Поделиться
Библиографическое описание
Исламова, Д. Д. Об одном представлении функции многих переменных, имеющей невырожденный минимум / Д. Д. Исламова, Ш. С. Халимова, Г. О. Бахранова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 4 (138). — С. 110-113. — URL: https://moluch.ru/archive/138/38621/.


Пусть . Рассмотрим вещественнозначную аналитическую функцию на . Получен одно важное представление для этой функции.

Условие 1. Функция является четной по совокупности переменных , (), имеет единственный невырожденный минимум в точке и существуют положительно определенная матрица , числа такие, что

.

Замечание. Условия 1 выполняется в случае, когда

,

где

.

Действительно, простые вычисления показывают, что

;

;

.

Поэтому

,

где единичная матрица размера .

Положим

и .

Теорема 1. Пусть выполняется условия 1. Тогда существует некоторая -окрестность точки такая, что имеет место равенство

и . Здесь функция удовлетворяет условию

(1)

для некоторого .

Доказательство. Так как функция аналитична, то по формуле Тейлора для функций с несколькими переменными существует такое, что

для каждого , где

(2)

и - положительные числа, .

Функция - чётна, следовательно,

.

Функция - аналитична, поэтому [1] существует положительное число , ограничивающее все частные производные 4-порядка функции , именно,

для каждого . Из (2) имеем

.

Так как - симметричен, т.e. , получим

(где означает транспонированную матрицу).

Поэтому

По условию 1

и матрица

положительно определена. Отсюда следует, что и, следовательно, . Теорема 1 доказана.

Теорема 1 играет важную роль при изучении поведении определителя Фредгольма соответствующий модели Фридрихса.

Литература:

  1. В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Молодой учёный №4 (138) январь 2017 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 110-113):
Часть 2 (cтр. 107-217)
Расположение в файле:
стр. 107стр. 110-113стр. 217

Молодой учёный