Пусть гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Тогда множество называется числовым образом оператора [1–3]. Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства дают некоторую информацию об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все её собственные значения.

В данной работе рассматривается симметричная матрица и исследован ее числовой образ в некоторых частных случаях.

Пусть — множество комплексных чисел. В пространстве рассмотрим матрицу вида:

размера , где — произвольные вещественные числа, а — произвольные комплексные числа.

При этих предположениях матрица является линейным ограниченным и симметричным оператором в

Лемма 1. Для числового образа матрицы имеет место равенство:

,

где собственные числа матрицы .

Доказательство. Пусть — собственные числа матрицы . Обозначим через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы а через собственный вектор, соответствующий собственному числу матрицы . Тогда имеет место соотношение:

, ;

.

Очевидно, что квадратичная форма в единичной сфере достигает своего минимума при и достигает своего максимума при . Таким образом, .

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если , то имеет место равенство:

.

Доказательство. Допустим , тогда:

.

Собственные числа матрицы являются нулями характеристического уравнения:

.

Отсюда следует, что для собственных чисел матрицы верно . В силу леммы 1 имеем:

.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если , то имеет место равенство:

,где .

Доказательство. Пусть . Тогда записывается как:

.

Характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид:

(1)

Известно, что нули характеристического уравнения матрицы являются ее собственными числами. Таким образом, решение уравнения (1) приводится к решению уравнения:

и .

Отсюда следует, что:

.

Обозначим:

.

Из леммы 1 следует, что:

.

Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть , тогда , где

.

Доказательство леммы 4 аналогично доказательству леммы 3.

Рассмотрим пример.

Вычислить числовой образ матрицы:

Решение. Видно, что . Так как , , следуя доказательству леммы 3 найдем остальные две собственные числа матрицы :

; .

В силу леммы 3 имеем .

Литература:

1. Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), pp. 314–316.
2. Heydari M. T. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), pp. 139–143.
3. Langer H., Markus A. S., Matsaev V. I., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), pp. 89–112.