Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения множество называется его числовым образом. Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в , см. например [1].

Для того, чтобы получить более точную информацию о спектре, в работе [2] введено понятие квадратичный числовой образ, затем изучена в работе [3]. Это множество определено, если дано разложение и , где и гильбертово пространство, а пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Тогда оператор всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы

(1)

с линейными ограниченными операторами , .

Для полноты дадим определение квадратичной численной области значений оператора . Пусть и –скалярное произведение и норма в , , соответственно. Множество всех собственных значений матрицы

таких, что , называется квадратичной числовой образ оператора , соответствующей представлению (1) блочно-операторной матрицы и обозначается как , т. е. .

Пусть теперь дано прямая сумма трех гильбертовых пространствах , и , а также оператор . Тогда оператор всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы

(2)

с линейными ограниченными операторами , .

Множество всех собственных значений матрицы

таких, что , называется кубической числовой образ оператора , соответствующей представлению (2) блочно-операторной матрицы и обозначается как , т. е. .

Для двум различным разложениям гильбертово пространства , могут соответствовать различные кубические числовые образы. Приведем некоторые факты и примеры. Заметим, что кубическая числовая образ всегда содержится в числовом образе: . При этом если операторная матрица имеет нижнюю или верхнюю треугольную форму, т. е.

или ,

то .

Аналогично числового образа значений, кубическый числовой образ ограниченной блочно-операторной матрицы является ограниченным подмножеством множество : и оно замкнуто если .

Пример 1. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Пример 2. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Пример 3. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Пример 4. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Литература:

1. Т. Като. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.
2. H. Langer, C. Tretter. Spectraldecomposition of some nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2 (1998), 339–359.
3. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.