В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.
Ключевые слова: числовой образ, выпуклые множества, матрица, линейный оператор, точечный и аппроксимативно точечный спектры, ядро спектра, оператор левого сдвига, неравенство Коши-Буняковского.
1. Введение. Пусть 
комплексное гильбертово пространство и 
линейный оператор с областью определения 
. Множество
называется числовой образ оператора 
. Из определения видно, что множество 
является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества дает некоторые информации об операторе .
Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. В работе [2] показано, что числовой образ линейного оператора является выпуклым. Отметим, что выше сказанные результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр произвольного линейного ограниченного оператора содержится в замыкании числового образа этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4–6].
Числовой образ матриц хорошо изучены во многих работах, см. например [7,8]. В частности, в работе [7] доказано, что числовой образ матрицы 
есть эллипс. Отметим, что [7] в случае, когда оператор является ограниченным и самосопряженным, замыкание числового образа есть выпуклая оболочка спектра.
Данная работа посвящена изучению основных свойств числового образа линейного оператора. Вычислен числовой образ нескольких линейных операторов разного характера.
2. Основные свойства. В этом пункте ради удобства для читателей сформулируем некоторых свойств числового образа линейного оператора.
Пусть 
и 
— множество натуральных, вещественных и комплексных чисел, соответственно. Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, точечный спектр и аппроксимативно точечный спектр линейного оператора. Всюду в работе под 
и 
понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.
Свойства 1 (Теорема Тёплица-Хаусдорфа): Числовая образ линейного оператора есть выпуклая множества.
Свойства 2: 
тогда и только тогда, когда самосопряженный оператор.
Свойства 3: Пусть самосопряженный оператор и 
для некоторых 
. Тогда имеет место равенство 
.
Свойства 4: Пусть 
. Тогда 
.
Свойства 5: Имеет место включение
.
Определим (см. [8]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора как
Подчеркнем, что последнее множество имеет еще одно название, «ядро спектра» (см. [10]).
Следующее свойства устанавливает связь между 
и 
:
Свойства 6: Имеет место соотношение
.
Следующий пример показывает, что даже для ограниченного самосопряженного оператора 
в гильбертовом пространстве мы не сможем утверждать, что 
или 
.
Пусть
.
Легко проверяется, что
Остановимся, на доказательство факта 
. Допустим противное. Пусть 
. Тогда существует 
такое, что 
и 
. Имеем
Отсюда следует, что 
. Это противоречит факту 
. Значить . Следовательно, в этом случае имеем 
.
3. Примеры. В этом пункте рассмотрим некоторые примеры на вычисление числового образа линейного ограниченного оператора.
1. Пусть комплексное гильбертово пространство, а 
некоторое фиксированное комплексное число. Тогда для числового образа оператора 
, 
имеет место равенство 
Действительно, если 
тогда 
, т. е. 
2. Вычислить числовой образ оператора 
где 
и 
произвольные вещественные числа.
Возьмем произвольный элемент 
. Тогда 
Если обозначить 
тогда 
, где 
. Поэтому
Так как 
то 
3. Вычислить числовой образ оператора 
Возьмем произвольный элемент 
координаты которого удовлетворяют условию 
. Обозначим 
Тогда 
Теперь рассмотрим квадратную форму 
для элементов 
Здесь 
Если обозначить 
тогда 
и 
Поэтому
Видно, что когда 
пробегает от 
до 
квадратная форма 
описывает окружность с центром в начале координат и с радиусом 
Тогда объединение таких окружностей по 
дает множество 
. Учитывая 
получим, что множество есть круг с центром в начале координат и с радиусом 
, т. е.
.
4. Числовой образ оператора 
вычисляется как в примере 3 и верно 
(вычислить самостоятельно).
5. Покажем, что для числового образа оператора левого сдвига
имеет место равенство 
Очевидно, что для каждого 
вектор 
принадлежит в 
и 
, т. е. каждое является собственным значением оператора 
и соответствующий собственный вектор равно 
. Тогда 
. Так как 
имеем 
. Поэтому достаточно показать, что ни одна точка единичной окружности не лежит в 
. Допустим противное, т. е. пусть некоторое комплексное число
с модулью 1 лежат в . Тогда существует элемент 
такое, что и 
Так как 
, согласно неравенству Коши-Буняковского имеет место соотношение 
. Отсюда вытекает, что 
Легко можно проверить, что уравнению 
удовлетворяет только 
. С другой стороны 
поэтому 
. Это противоречие показывает, что 
.
6. Пусть отображение 
представляется в виде
Допустим, что 
- единичный вектор в 
т. е.
Тогда
и
Таким образом
Последнее есть семейства окружностей, берем их объединение.
Перепишем последнее выражение в следующем виде
, 
и дифференцируя по 
получим
Из последних двух выражений получим
Это и есть эллипс.
Литература:
1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z. — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — pp. 187–197.
2. F. Hausdorff. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z. — 1919, — V. 3, — no. 1, — pp. 314–316.
3. A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen // Math. Z. — 1929, — V. 30, — no. 1, — pp. 228–281.
4. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl. — 2001, — V. 330, — no. 1–3, — pp. 89–112.
5. C. Tretter, M. Wagenhofer. The block numerical range of an 
block operator matrix // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2003, — V. 24, — no. 4, — pp. 1003–1017.
6. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory. — 2011, — V. 71, — pp. 245–257.
7. K. Gustafson, D. K. M. Rao. Numerical range: The field of values of linear operators and matrices. Berlin, Springer, 1997.
8. D. S. Keeler, L. Rodman, I. M. Spitkovsky. The numerical range of 
matrices // Linear Algebra and its Appl. — 1997, — V. 252, — no. 1–3, — pp. 115–139.
9. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М. Мир, 1982.
10. М. Саломяк, М. Бирман. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Ленинград, Изд. Ленинградского университета, 1980.
