Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора 
в гильбертовом пространстве 
с областью определения 
является изучение его числового образа:
.
Пусть 
, 
и 
- множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно. Известно, что точечный спектр 
оператора 
лежит в 
, а его аппроксимативно точечный спектр 
содержится в 
. Если есть замкнутый оператор и всякая компонента множества 
содержит хотя бы одну точку резольвентного множества 
оператора , то имеет место включение 
. В силу теоремы Тёплица-Хаусдорфа [1] числовая образ является выпуклым подмножеством множества . С одной стороны, свойства выпуклости является важным свойством. Надо отметить, что если спектр состоит из объединения двух не пересекающихся множеств, то числовая образ не всегда дает достаточно хорошую структуру.
Для того, чтобы получить более точную информацию о спектре в вышеуказанных случаях, в работе [2] введено понятие квадратичный числовой образ и затем изучены в работах [3, 4, 5, 6]. Это множество определено если дано разложение 
и 
, где 
и 
гильбертово пространство, а 
пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве 
. Тогда оператор всегда записывается в виде блочно-операторной матрицы
(1)
с линейными ограниченными операторами 
, 
. Для неограниченного линейного оператора в , его область определения 
необязательно должна быть разложимым как прямая сумма 
подпространств 
, 
и следовательно, утверждение о том, что оператор имеет представление (1) является дополнительным предположением. В этом случае
.
Так как в настоящей работе рассматривается случай, когда линейный оператор является ограниченным, дальнейшие понятия приводятся для ограниченных операторов действующих в гильбертовом пространстве 
.
Сначала дадим определение квадратичного числового образа оператора и некоторые информации о нем (для подробности смотрите работу [5]). Пусть 
и 
-скалярное произведение и норма в 
, 
соответственно.
Множество всех собственных значений матрицы
, 
таких, что 
,
называется квадратичной числовой образ оператора , соответствующей представлению (1) блочно-операторной матрицы и обозначается как 
, т. е.
, .
Для двум различным разложениям гильбертового пространства , могут соответствовать различные квадратичные числовые образы.
Например, квадратично числовым образы матрицы 
соответствующих разложениям 
и 
являются различны [5].
Квадратичная числовая образ всегда содержится в числовом образе: 
. Если операторная матрица 
имеет нижнюю или верхнюю треугольную форму, т. е.
или 
то . Аналогично числовой образа, квадратичная числовая образ ограниченной блочно-операторной матрицы является ограниченным подмножеством множество 
:
,
и оно замкнуто если
. В отличие от числового образа, квадратичная числовая образ, вообще говоря, невыпуклая, оно состоит из не более двух компонент. С другой стороны, квадратичная числовая образ обладает некоторыми аналогичными свойствами числового образа. Например, свойства спектральных включений для 
ограниченных блочно-операторных матриц 
, 
. А для свойства спектральных включений для неограниченных блочно-операторных матриц понадобятся дополнительные условия [6].
Теперь перейдем постановку задачи и формулировки основного результата.
Пусть 
- 
-мерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней, а 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через прямую сумму пространств 
и 
, т. е. 
.
Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как блочно-операторная матрица (1), где элементы , 
определяются по формулам
, 
, 
, 
.
Здесь 
, 
; 
фиксированное вещественное число, 
вещественнозначная непрерывная функция на , а 
сопряженный оператор к 
.
Можно проверить, что при этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .
Так как оператор является самосопряженным, из определения множества 
следует, что 
.
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 1. Для квадратичного числового образа оператора имеет место равенство
.
Литература:
- Т. Като. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.
- H. Langer, C. Tretter. Spectral decomposition of some nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2 (1998), 339–359.
- H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
- H. Langer, A. S. Markus, C. Tretter. Corners of numerical ranges. In Recent advances in operator theory (Groningen,1998), vol. 124 of Oper. Theory Adv. Appl., 385–400 (Birkhauser, Basel, 2001).
- C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.
- C. Tretter. Spectral inclusion for unbounded block operator matrices. J. Func. Anal., 256 (2009), 3806–3829.
