О числе собственных значений одной операторной матрицы размера 2 × 2

Шаропов, Жасур Кахрамон

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство. Обозначим Рассмотрим ограниченную самосопряженную блочно операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как

,

где матричные элементы определяются по формулам

Здесь — фиксированное вещественное число, — вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на . Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Отметим, что оператор можно рассмотреть как некомпактное возмущение оператора , рассмотренного в работе [1], где изучен число собственных значений оператора . Там факты приведены без доказательства. В данной работе, в отличие от работы [1], во первых рассматривается компактный оператор, во вторых дано строгое математическое доказательства результатов о простых и бесконечно кратных собственных значений оператора .

Теорема 1. Число является бесконечно кратным собственным значением оператора .

Доказательство. Рассмотрим уравнение относительно , которое эквивалентно системе уравнений

. (1)

Можно показать, что элементы подпространства

являются решениями системы уравнений (1). Видно, что

. Это означает, что число

является бесконечно кратным собственным значением оператора

. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Оператор может иметь не более чем 2 отрицательных и не более чем 1 положительных простых собственных значений.

Доказательство. Уравнение на собственные значения оператора эквивалентно системе уравнений

(2)

Так как из второго уравнения (2) находим, что

(3)

где число определена по формуле

. (4)

Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) и в равенство (4) имеем, что

(5)

Здесь через обозначена норма в . Положим

Система уравнений (5) имеет решение тогда и только тогда, когда детерминант этой системы равен нулю, т. е. когда .

Таким образом, изучение собственных значений оператора мы привели к изучению нулей полинома степени 3. Заметим, что если и линейно зависимы, тогда . Следовательно,

и .

Пользуясь неравенством получим, что

.

Возможны три случая: 1) и ортогональны; 2) и параллельны; 3) и не ортогональны и не параллельны.

1) Пусть и ортогональны. Тогда . В этом случае числа

являются нулями полинома , т. е. собственными значениями оператора . Отметим, что числа являются нулями полинома в случае, когда и не ортогональны.

2) Пусть и параллельны. Тогда В этом случае полином записывается в виде

Отсюда видно, что числа

и

являются нулями полинома , т. е. собственными значениями оператора . Заметим, что числа являются нулями полинома в случае когда и не параллельны.

3) Пусть и не ортогональны и не параллельны. Тогда имеем, что Положим Тогда можно показать, что существует точки , , которые являются нулями полинома . Так как есть полином степени 3, эти нули являются простыми. Видно, что и . Теорема 2 доказана.