Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор , действующий в всегда представляется как блочно-операторная матрица

(1)

с линейными ограниченными операторами . При этом оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда

(сопряженный оператор к ).

Пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Положим

Очевидно, что Тогда оператор действующий в относительно представление записывается как блочно-операторная матрица [1] следующего вида:

(2)

Пусть - множество комплексных чисел и - пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Следующие операторы

называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы , определенный по формуле (2) и они играют важную роль в спектральном анализе этой матрицы [1–3]. Видно, что дополнение Шура являются операторно-значные регулярные функции определенные вне спектров операторов и , соответственно.

Пусть — -мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней, - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Рассмотрим случай, когда и . Пространства и называются нольчастичным, одночастичным и двухчастичным подпространством стандартного фоковского пространства по .

Всюду в работе будем рассматривать блочно-операторную матрицу , определенную по формуле (1), со следующими матричными элементами

Здесь -фиксированное вещественное число; и - вещественно-непрерывные функции на и , соответственно. При этом

.

Можно легко проверить, что при этих предположениях блочно-операторная матрица является ограниченным и самосопряженным оператором в .

Простые вычисления показывают, что первое дополнение Шура блочно-операторной матрицы (действующее по формуле (2)) соответствующее разложению определяется следующим образом

где

При каждом фиксированном определим регулярную в функцию

где числа и определяются следующим образом:

Тогда есть оператор умножения на функцию Следует отметить, что при каждом фиксированном оператор типа (3) является оператором, носящим название обобщенной модели Фридрихса.

Пусть

Следующая теорема описывает существенный спектр оператора .

Теорема. При каждом фиксированном для существенного спектра оператора имеет место равенство

.

Доказательство. Очевидно, что операторы , и , являются самосопряженными операторам ранга 1. Из известной теоремы Вейля [4] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга следует, что существенный спектра оператора совпадает с существенным спектром оператора . Из непрерывности функции при на компактном множестве следует следующая теорема . Отсюда вытекает, что . Теорема доказана.

Литература:

1. C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.
2. I. Schur. Uber potenzreihen, die im innern des einheitskreises beschrankt sint. J. Reine Angew. Math., 147 (1917), 205–232.
3. F. Zhang. The Schur complement and its applications. Vol. 4 of Numerical Methods and Algorithms. Springer, New York, 2005.
4. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. –М.: Мир. 1982, –430 С.