Пусть гильбертово пространство и
линейный ограниченный самосопряженный оператор. Множество всех изолированных точек спектра
самосопряженного оператора
, за исключением собственных значений бесконечной кратности оператора
, будем называть дискретным спектром оператора
и будем его обозначать через
. Множество
назывется существенным спектром оператора
.
Теорема Вейля [1]. Пусть линейные ограниченные самосопряженные операторы и
конечномерный оператор. Тогда имеет место равенство
, т. е. существенный спектр оператора
при конечномерных возмущениях сохраняется.
Первое применение теоремы Вейля.
Введем оператор модели Фридрихса, действующий в
, как
,
где операторы и
определяются по правилам
,
.
Здесь и
вещественнозначные непрерывные функции на
.
Простые вычисления показывают, что
и
.
Таким образом, возмущение оператора
является самосопряженным одномерным оператором. Из теоремы Вейля вытекает, что существенный спектр
оператора
совпадает с существенным спектром оператора
. Известно, что
,
где числа и
определяются равенствами
,
.
Следовательно,
.
Второе применение теоремы Вейля.
Пусть






,
где матричные элементы определяются по формулам
,
.
Здесь
— фиксированное вещественное число,
— вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на
.
Мы знаем, что для любых элементов
,
их скалярное произведение определяется по равенству:
,
где


С помощью этой формулы можно показать, что .
Положим
.
Покажем, что оператор возмущения оператора
является самосопряженным оператором ранга 2. По определению оператора
имеем, что
имеет вид:
.
Область значений оператора совпадает с множеством
.
Очевидно, что размерность этого подпространство равна 2.
Следовательно, опять из теоремы Вейля 1 вытекает, что существенный спектр оператора
совпадает с существенным спектром оператора
. Из одномерности пространства
следует, что
.
Поэтому
.
Аналогичные модели изучены в работах [2, 3].
Литература:
- М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
- Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая и математическая физика. 163:1 (2010), 34–44.
- Т. Х. Расулов. Исследование существенного спектра одного матричного оператора. Теоретическая и математическая физика. 164:1 (2010), 62–77.