Пусть 
и 
— бесконечномерные гильбертовы пространства и 
их тензорное произведение [1,2]. Рассмотрим линейные ограниченные самосопряженные операторы 
и 
, действующие в 
и 
, соответственно. Обозначим через 
тензорное произведение [1] операторов 
и 
. Оператор 
также является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в гильбертовом пространстве 
. Положим 
где 
и 
— тождественные операторы в 
и 
, соответственно. Оператор 
мы будем называть тензорной суммой 
и 
, и будем обозначать через 
. Оператор 
также является линейным ограниченным самосопряженным оператором [1], действующим в гильбертовом пространстве 
.
Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Для спектров операторов и верны равенства [1]:
и
.
Очевидно, что если 
и 
то 
.
В квантовой теории поля [3,4], физики твердого тела [5], а также в механике сплошных средств [6,7], аэродинамике [8] и других областях физики и механике встречаются частично–интегральные операторы вида
, (1)
действующие в гильбертовом пространстве
квадратично–интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
. Здесь функции 
, 
непрерывны на 
, а функция 
непрерывна на 
.
Данная работа посвящена изучению существенного и дискретного спектров операторов 
в случае
,
где 
–вещественнозначные непрерывные функции на 
. Тогда оператор 
имеет следующий вид
.
Наряду с оператором 
, рассмотрим еще оператор 
, действующий в гильбертовом пространстве 
по формуле
, 
, 
.
Из определения операторов 
и 
, 
, получим, что оператор 
можно представит как тензорная сумма 
Здесь 
означает тождественный оператор в 
.
В данной работе будем изучать спектральные свойства оператора 
с помощью тензорной суммы операторов.
Видно, что
.
Поэтому
, т. е. 
есть одномерный оператор.
Множество всех изолированных точек спектра 
самосопряженного оператора 
, за исключением собственных значений бесконечной кратности оператора 
, будем называть дискретным спектром оператора . Множество 
называется существенным спектром оператора .
Следующая лемма описывает спектра оператора .
Лемма 1.Для существенного спектра оператора 
, 
имеет места равенства 
. Оператор , 
имеет единственное простое собственное значение равное 
.
Теперь сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. Имеет место равенства
;
.
Доказательство. Как отметили выше из определения операторов 
и 
, 
получим, что оператор 
можно представит как тензорная сумма 
. Поэтому для спектра оператора 
имеем
.
В силу леммы 1 имеем
, 
.
Нетрудно видеть, что
;
.
Теорема 1 доказана.
В работе [9], модельный оператор, ассоциированный с системой трех частиц на 
-мерной решетке рассматривается как тензорная сумма моделей Фридрихса. Найден явный вид существенного и дискретного спектра этого модельного оператора.
Литература:
- М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, Т. 1: Функциональный анализ. М.: Мир, 1977, 360 с.
- Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983, 392 с.
- В. А. Какичев, Н. В. Коваленко. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами. Укр. Мат. Журн. Т. 23, № 3, С. 302–312.
- К. О. Фридрихс. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969.
- A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results. AdvancesinSov. Math., — 1991, — V. 5, P. 139–194.
- В. М. Александров, Е. В. Коваленко. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.
- V. M. Aleksandrov, E. V. Kovalenko. On some class of integral equations arising in mixed boundary value problems of continuous mechanics. SovietPhys. Dokl. — 1980, V. 25, N. 2, P. 354–356.
- А. С. Калитвин. О некотором классе частично интегральных уравнений в аэродинамике. Состояние и перспектива развития наук и технике под Липецком. –1994, С. 210–212.
- Т. Х. Расулов, Б. И. Бахронов. О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой ученый. № 9 (89), 2015, С. 17–20.
