2-локальные автоморфизмы конечной алгебры фон Неймана

Хорошо известно [1], что если алгебра фон Неймана типа I и её -автоморфизм такой, что для всякого центрального элемента , тогда является внутренним, т. е. для некоторого унитарного элемента Некоторые результаты такого рода для неограниченных операторных алгебр были получены в [2]. А именно было доказано, что всякий * ‑ автоморфизм максимальной -алгебры является внутренним.

В последнее время изучение 2-локальных дифференцирований и 2-локальных автоморфизмов на операторных алгебрах является одним из важных классов теории операторных алгебр. В работе [3] дана характеристика влияния 2-локалных дифференцирований и 2-локалных автоморфизмов алгебр всех линейных ограниченных операторов на гильбертово пространство. В работе [4] были изучены 2-локалные гомоморфизмы -алгебры, в частности было показано, что всякий линейный ограниченный 2-локалный автоморфизм унитальной -алгебры является автоморфизмом. А в работе [5] показано, что всякий сюърективний 2-локальный

*-автоморфизм является *-автоморфизмом.

Настоящая работа посвящена изучению 2-локальных автоморфизмов конечной алгебры фон Неймана типа I.

Пусть гильбертово пространство, — алгебра всех линейных ограниченных операторов на , некоторая подалгебра . Через обозначим коммутанта т. е.

.

Очевидно, что является унитальной алгеброй. Для алгебры бикоммутант

содержит алгебру .

Если для *-подалгебры выполняется равенство

тогда называется алгеброй фон Неймана.

Если проектор конечная, тогда называется конечной алгеброй.

Если для любого ненулевого центрального проектора существует конечный абеловый проектор , такой, что , тогда называется алгеброй типа .

Пусть измеримое пространство с -конечной мерой т. е. имеется семейство такое, что для каждого существует счетное подмножество и множество с мерой нуль, такой, что

Пусть множество всех измеримых отображений из в и пусть факторизация этого множества по отношению равенства почти всюду. Обозначим через класс эквивалентности из , содержащий отображение Далее мы отождествляем элемент с классом Отметим, что функция измерима для всех Класс эквивалентности, содержащий функцию , обозначим через . Для положим

Пусть , где — единица в .

Положим, Тогда является Банахово пространство относительно нормы

Известно, что если алгебра фон Неймана типа I, то существует единственная (кардинально-индексированная) система центральных ортогональных проекторов с , такая, что изоморфно тензорному произведению алгебр и с т. е.

Пусть некоторая алгебра, биективний линейный оператор.

‒ автоморфизм называется внутренним, если имеет вид , где обратимый элемент.

Оператор называется 2-локальным внутренним автоморфизмом, если для каждого найдется внутренний автоморфизм , такой, что .

Из определения следует, что если оператор 2-локальной внутренний автоморфизм, тогда для любого найдется такой , имеет место равенства и .

Теорема. Пусть — конечная алгебра фон Неймана типа . Тогда всякий

2-локальной автоморфизм алгебры является автоморфизмом.

Литература:

1. I. Kaplansky, Modules over operator algebras //Amer. J.Math. — 1953, — V.75. N4 — P. 839–858.
2. K. Schmudgen, Unbounded Operator Algebras and Representation Theory. Akademie — Verlag. Berlin. ‑ 1990.
3. Ayupov, Sh. A., Kudaybergenov, K. K., 2-local derivations and automorphisms on B(H). J. Math. Anal. Appl. 2012. Vol. 395, P. 15--18.
4. D. Hadwin, J. Li, Local derivations and local automorphisms. J. Math. Anal. Appl. 2004. 290, no. 2, 702–714.
5. A. M. Peralta, A note on 2-local representations of C*-algebras. preprint, 2014.