В данной работе с помощью изучения общих свойств когомологии простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли в положительной характеристике найдены нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике. Пусть 
– простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем 
характеристики 
и 
– ее алгебра Ли. Для доказательства основного результата будем пользоваться свойством отображения Фробениуса на и теоремой Стейнберга о тензорном произведений. Отображение Фробениуса на позволяет вычислить когомологию простых модулей группы с помощью спектральной последовательности Линдона-Серра-Хохшильда. Предположим, что определена над простым подполем 
поля . Это означает, что существует алгебраическая -группа 
такая, что 
. Тогда отображение 
на 
является эндоморфизмом -алгебр и индуцирует отображение 
. 
является групповым эндоморфизмом и называется отображением (морфизмом) Фробениуса. Ядро 
называется ядром Фробениуса. Ядро Фробениуса являются инфинитезимальной подгруппой группы .
Используя результаты работы [1], можно найти некоторые нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике. По предложению 2.1 работы [1], стр. 407,
, (1)
где 
(2)
Предложение 1. Пусть – простая алгебра Ли простой односвязной алгебраической группы над алгебраически замкнутым полем характеристики 
. Предположим, что 
. Тогда 
, где 
задается равенством (2).
Доказательство. Пусть 
, где 
– ранг системы 
. Для алгебр Ли 
и 
Следовательно, в этом случае, вторые когомологий группы и алгебры Ли не совпадают. Если имеет систему корней типа 
, то 
, что противоречить условию 
В случае 
и 
.
Далее, используя (1), получим 
.
Таким образом, среди классических алгебр Ли ранга , только в случае алгебры Ли типа 
имеется совпадения второй группы когомологии с соответствующей второй группой когомологии алгебраической группы.
Пусть теперь, 
. Тогда условие предложения 2.1 работы [1], стр. 407, обеспечивает выполнения условий
1) 
, где 
;
2)
;
3)
.
Поэтому, проверим только выполнение условия 
.Произведя соответствующие вычисления, получим
за исключением, когда 
и 
. Согласно общей формуле Андерсена-Янцена [2], . Таким образом, согласно (1), получим . Предложение 1 доказано.
Для систем корней малых рангов легко можно описать все одинаковые нетривиальные вторые группы когомологий простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли.
1. В случае , используя результаты работы [3], относительно структуры 
, 
, легко показать, что полученный, в Предложении 1 случай, является единственным нетривиальным примером совпадения соответствующих вторых групп когомологий простых модулей группы и алгебры Ли .
2. В случае 
имеются ровно 2 совпадения. Первый – это пример Предложения 1, когда старший вес простого модуля равен 
, второй – 
. Здесь достаточно использовать результаты работы [4], стр.94 - 98.
3. Точность последовательности (6) и предложение 6 работы [5] показывают, что в случае 
также имеются ровно два совпадения нетривиальных вторых групп когомологий. Старшие веса соответствующих простых модулей равны 
и 
.
Литература:
1. O’Halloran J. Weyl modules and cohomology of Chevalley groups // Amer. J. of Math. -1981. - Vol. 103, № 2. - P. 399-410.
2. Andersen H.H., Jantzen J.C. Cohomology of induced representations for algebraic groups // Math. Annalen. - 1984. - Vol. 269. - P. 487-525.
3. Jantzen J.C. Darstellungen halbeinfascher gruppen und contravariante formen // J. reine angew. Math. - 1977. - V. 290. - P. 117-141.
4. Jantzen J.C. Weyl modules for groups of Lie type in M. Collins ed., Finite simple groups. London, New York: Acad. Press, 1980. P. 291-300.
5. Ибраев Ш.Ш. О когомологии простых модулей для ядра Фробениуса // «Бәсекеге қабілетті жеке тұлғаны қалыптастырудағы жаратылыстану-математикалық пәндерді оқытудың өзекті мәселелері» халықаралық ғылыми-практикалық конф. материалдары: ҚОББҚБАҚДИ (19-20 қараша 2010ж.). - Кызылорда.- 2011. - С. 363-368.
