Пусть , измеримая
-периодическая функция
. Множество всех измеримых,
- периодических функций
для которых
,
,
называют весовым пространством Лебега и обозначается. В этом пространстве норма вычисляется
.
Пусть . Весовая функция
, если существует число
такая, что для любого интервала
выполняется неравенство
,
где — длина интервала
.
Если , то положим
,
,
,
,
,
Для функции
![](https://moluch.ru/blmcbn/41118/41118.024.png)
![](https://moluch.ru/blmcbn/41118/41118.025.png)
,
.
Известно, что - неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция и
,
.
Пусть - множество тригонометрических полиномов порядка не выше
. Наилучшее приближение функции
множеством
определяется по формуле
,
Известно следующее утверждение.
Теорема 1 ([2]). Пусть ,
и
,
. Тогда для функции
справедлива оценка
.
Далее, рассмотрим пространство в случае
,
,
и
обозначим как
.
Теорема 2 ([3, с.46]). Пусть ;
. Если
,
![](https://moluch.ru/blmcbn/41118/41118.053.png)
то имеет место неравенство
.(2)
Замечание. В случае теорема 2 доказана П. Л. Ульяновым [4,с.104].
Теорема 3. Пусть ,
. Если
и выполнено условие (1) то
и
.(3)
Доказательство. Пусть и выполнено условие (1). Тогда по теореме 1 функция
. Докажем оценку (3). По теореме 1 и неравенству (2) имеем
(4)
где .
Применяя неравенство ,
,
имеем
![](https://moluch.ru/blmcbn/41118/41118.070.png)
В силу оценки
из неравенств (4) и (5) получим
. (6)
Если , то меняя порядок суммирования имеем
Поэтому из неравенства (6) получим
в случае , т.е
.
Литература:
- Muckenhoupt B. Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function,Trans.Amer.Math.Soc. -1972, № 165.- P.207–226.
- Guven A., Israfilov D. M. Improved Inverse Theorems in Weighted Lebesgue and Smirnov Spaces.Bull.Belg.Math.Soc.Simon Stevin.- 2007, № 14.- P.681–692.
- Смаилов Е. С., Каримов С. К. Весовые аналоги одной теоремы вложения П. Л. Ульянова // Сб.Математические исследования. — Караганда, 1976.-Вып. 3.- C. 46–50.
- Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках //Мат.сб., 1970.- Т.81.- № 1.- C.104–131.