Осцилляторным интегральным оператором называется оператор следующего вида:
(1)
где 
и 
вещественно значная функция и 
— большой вещественный параметр.
В работе Л. Хёрмандера [4] доказано, что если смешенный Гессиан фазовой функции ф, т. е. 
, то для оператора (1) справедлива следующая оценка:
(2)
Однако, если смешенный Гессиан обращается в нуль в начале координат, то оценка (2) перестает быть справедливой.
В 1997 году в работе [5] И. М. Стейн и Д. Х. Фонг рассмотрели оценку норму оператора (1) с вырожденной фазой в случае 
. В этом случае по фазовой функции определяется так называемый приведённый многогранник Ньютона (МН), т. е. МН функции: 
, предполагая 
.
Через d обозначается расстояние Ньютона, т. е координата пересечения биссектрисы положительного октанта с границей 
. Тогда если ф (х, у) аналитична в нуле и носитель амплитуды, а находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедлива оценка:
.
Более того, если 
, то существует ненулевая константа 
такая, что 
.
В дальнейшем, ради удобства введем обозначение: если существуют ненулевые константы
такие, что при 
для нормы оператора 
справедливы неравенства 
, то мы будем писать, что:
(3)
Таким образом, если и носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности нуля, то справедливо соотношение (3).
Основным результатом нашей работы является следующая теорема:
Теорема. Если 
и 
— носитель амплитуды находится в достаточно малой окрестности начала координат, то для L2 нормы осцилляторных интегральных операторов справедлива следующая оценка:
.
Более, того если , то при 
справедливо соотношение:
.
При доказательстве основной теоремы используются некоторые вспомогательные утверждения.
метод и Обобщенная лемма Шура.
Как известно, если Т некоторый ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, то справедливо равенство 
.
Доказательство основной теоремы основывается на этом методе.
Лемма 1. 
является интегральным оператором с ядром:
Лемма 1 доказывается непосредственным вычислением ядро оператора
.
Лемма 2. Пусть М любое фиксированное число и тогда справедливо неравенство:
где 
Лебегова мера множества А.
Литература:
- Арнольд В. И., Варченко А. Н. Гусейн-заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Ч. II. M.: Наука, 1984. 335 с.
- Варченко А. Н. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов. Функц. анал. и его прил. 10(3): (1976). с. 13–38.
- Рисс Ф. Б., Сёкефальви-Надь «Лекции по функциональному анализу». «МИР» Москва, 1979. 528 с.
- Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Ч. 4. ИнтегральныеоператорыФурье. М.: Мир, 1988. 446 с.
- Phong D. H., Stein E. M. The Newton polyhedron and oscillatory integral operators. Acta Math. 179(1) (1997), С. 105–152.
